Fonction de masse (probabilités)

En théorie des probabilités, la fonction de masse est la fonction qui donne la probabilité de chaque issue (c.-à-d. résultat élémentaire) d'une expérience aléatoire. C'est souvent ainsi que l'on définit une loi de probabilité discrète.

Elle se distingue de la fonction de densité, c.-à-d. de la densité de probabilité, en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires de loi absolument continue, et que ce sont leurs intégrales sur des domaines qui ont valeurs de probabilités (et non leurs valeurs en des points). Les deux notions se rejoignent néanmoins dans le cadre plus général de la théorie de la mesure.

Description mathématique

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables  S ⊆ R. Alors, la fonction de masse  f_X(x)  pour X est donnée par

$f_{X}(x)={\begin{cases}\Pr(X=x),&x\in S,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash S.\end{cases}}$

Les valeurs  f_X(x)  sont définies pour toutes les valeurs réelles, y compris celles qui ne sont jamais prises par X ; ces valeur se voient simplement assigner une probabilité nulle.

La fonction de masse doit par ailleurs se sommer à l'unité:

$\sum _{x\in S}f_{X}(x)=1$

Utilisations

La fonction de masse permet :

• de calculer la fonction de répartition et, plus généralement, d'évaluer la probabilité d'un événement aléatoire. Il s'agit pour cela de décomposer cet événement en événements élémentaires et de sommer leur probabilités données par la fonction de masse;
• calculer les moments de la variable aléatoire X. Par exemple, l'espérance se donne par :

$E(X)=\sum _{x\in S}xf_{X}(x)$

et la variance par :

$V(X)=\sum _{x\in S}(x-E(X))^{2}f_{X}(x)$

sous condition de convergence de ces séries.

Exemples

Soit X le résultat d'un lancer à pile ou face, identifiant 0 à pile et 1 à face ; la probabilité que X = x est de 0,5 sur l'espace des états {0, 1} (c'est une distribution de Bernoulli) ; la fonction de masse est

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x\in \{0,1\},\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \{0,1\}.\end{cases}}$

On constate que la somme des valeurs de la fonction de masse sur le support est bien égale à l'unité.

On peut définir des fonctions de masse pour toutes les variables aléatoires discrètes, comme les variables de distribution uniforme, binomiale, binomiale négative, géométrique, hypergéométrique, ou de Poisson.

La fonction de masse comme densité de probabilité discrète

En théorie de la mesure, le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue offre une perspective plus générale sur la fonction de masse d'une loi de probabilité discrète. L'ensemble des valeurs possibles d'une loi discrète est par définition fini ou dénombrable, donc la mesure de comptage sur cet ensemble est σ-finie. De plus toute mesure est absolument continue (au sens du théorème) par rapport à la mesure de comptage.

Donc le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue garantit l'existence d'une densité de probabilité de la loi discrète par rapport à la mesure de comptage (et non par rapport à la mesure de Lebesgue comme dans le cas des densités de probabilité de lois continues). Cette densité de probabilité est la fonction de masse. Les sommes de probabilités sont des intégrales selon la mesure de comptage.

Bibliographie

• (en) N.L. Johnson, S. Kotz et A. Kemp, Univariate Discrete Distributions, Wiley, p. 36 (ISBN 0-471-54897-9)

Articles connexes

• Correction de continuité