Loi demi-logistique

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Loi demi-logistique
Image illustrative de l'article Loi demi-logistique
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \mu \in \mathbb R
\sigma >0
Support x \in ]\mu;\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{2\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})}{\sigma\left(1+\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})\right)^2}
Fonction de répartition \frac{\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})-1}{\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})+1}
Espérance \log_e(4) (cas centré réduit)
Médiane \log_e(3) (cas centré réduit)
Mode \mu
Variance \pi^2/3-(\log_e(4))^2 (cas centré réduit)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors

X = |Y| \!

est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : \scriptstyle\mu\in \mathbb R et \scriptstyle\sigma>0, représentée par la notation : X \sim \frac{1}{2}\mathrm{log}(\mu,\sigma).

Caractéristique[modifier | modifier le code]

Densité de probabiltié[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :

f_X(x)=\begin{cases} \frac{2\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})}{\sigma\left(1+\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})\right)^2} & \text{ si } x>\mu \\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire \mu=0 et \sigma=1, la densité de probabilité s'écrit :

f_X(x)=\begin{cases}\frac{2 e^{x}}{(1+e^{x})^2} & \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:

F_X(x)=\begin{cases}\frac{\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})-1}{\exp(\frac{x-\mu}{\sigma})+1}& \text{ si } x>\mu \\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}

et pour le cas centré réduit :

F_X(x)=\begin{cases}\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}& \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}

En particulier, \scriptstyle F_X(x)=2f_X(x)-1.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Olusengun George, Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution, New York, Marcel Dekker, Inc.,‎ 1992, 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8), « Some Related Distributions »
  • (en) A.K. Olapade, « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat,, no 2,‎ février 2003 (lire en ligne)