Processus de Poisson composé

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Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique à temps continu, continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.

Définition[modifier | modifier le code]

Un processus de Poisson composé est un proccesus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit Z_t=\sum_{n=1}^{N_t}Y_n(N_t)_{t\in[0,+\infty[} est un processus de Poisson et (Y_i)_{i\in\mathbb{N}} est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Accroissements[modifier | modifier le code]

Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.

Moments[modifier | modifier le code]

Espérance[modifier | modifier le code]

Théorème —  Moment d'ordre 1- Si Y_1 admet un moment d'ordre 1, alors pour tout t\in [0,+\infty[ la variable aléatoire Z_t possède un moment d'ordre 1 et

\mathbb{E}(Z_t)=\lambda t\mathbb{E}(Y_1),
\lambda est l'intensité du processus de Poisson (N_t)_{t\in[0,+\infty[}.



Variance[modifier | modifier le code]

Théorème —  Variance- Si Y_1 admet un moment d'ordre 2, alors pour tout t, Z_t admet un moment d'ordre 2 et on a

Var(Z_t)=\lambda t \mathbb{E}(Y_1^2).


Loi des Grands Nombres[modifier | modifier le code]

On peut écrire une Loi des grands nombres pour le processus de Poisson Composé.

Théorème — Si les Y_i ont un moment d'ordre 2, alors

 \mathbb{P}(\lim_{t\to+\infty}\dfrac{Z_t}{N_t}=\mathbb{E}(Y_1))=1

Fonction Caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique de (Z_t)_t détermine entièrement sa Loi de probabilité

Théorème —  La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé (Z_t)_t d'intensité \lambda s'écrit

\Phi_{Z_t}(\xi)=e^{\lambda t(\Phi_{Y_1}(\xi)-1)}

Théorème Limite Central[modifier | modifier le code]

On peut établir un théorème de convergence pour le processus (Z_t)_t.

Théorème —  Soit (Z_t)_t un processus de Poisson composé d'intensité \Lambda. On suppose les Y_i centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la Convergence en loi suivante

 Z_t\xrightarrow[t\to+\infty]{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
  • J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-52164-632-4
  • Y. Caumel, 'Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, (ISBN 2817801628)

Notes et références[modifier | modifier le code]