Processus de Poisson composé

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Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique à temps continu, continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.

Définition[modifier | modifier le code]

Un processus de Poisson composé est un proccesus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit est un processus de Poisson et est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Accroissements[modifier | modifier le code]

Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.

Moments[modifier | modifier le code]

Espérance[modifier | modifier le code]

Théorème —  Moment d'ordre 1- Si admet un moment d'ordre 1, alors pour tout la variable aléatoire possède un moment d'ordre 1 et

est l'intensité du processus de Poisson .



Variance[modifier | modifier le code]

Théorème —  Variance- Si admet un moment d'ordre 2, alors pour tout , admet un moment d'ordre 2 et on a

.


Loi des Grands Nombres[modifier | modifier le code]

On peut écrire une Loi des grands nombres pour le processus de Poisson Composé.

Théorème — Si les ont un moment d'ordre 2, alors

Fonction Caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique de détermine entièrement sa Loi de probabilité

Théorème —  La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé d'intensité s'écrit

Théorème Limite Central[modifier | modifier le code]

On peut établir un théorème de convergence pour le processus .

Théorème —  Soit un processus de Poisson composé d'intensité . On suppose les centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la Convergence en loi suivante

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
  • J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-52164-632-4
  • Y. Caumel, 'Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, (ISBN 2817801628)

Notes et références[modifier | modifier le code]