Loi bêta-binomiale

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Loi bêta-binomiale
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres — nombre d'essais

Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition

3F2(a,b,k) est la fonction hypergéométrique généralisée
Espérance
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé voir description
Fonction génératrice des moments
pour
Fonction caractéristique
pour

En théorie des probabilités, la loi bêta-binomiale est une loi de probabilité discrète à support fini, correspondant à un processus de tirages Bernoulli dont la probabilité de succès est aléatoire (suivant une loi bêta). Elle est fréquemment utilisée en inférence bayésienne.

La loi de Bernoulli en est un cas particulier pour le paramètre . Pour , elle correspond à la loi uniforme discrète sur . Elle approche également la loi binomiale lorsque les paramètres et sont arbitrairement grands. La loi bêta-binomiale est une version unidimensionnelle de la loi de Pólya multivariée, similairement aux lois binomiale et bêta qui sont respectivement des cas spéciaux des lois multinomiale et de Dirichlet.

Motivation et expression[modifier | modifier le code]

Loi bêta-binomiale comme loi composée[modifier | modifier le code]

La loi bêta est la loi conjuguée de la loi binomiale. Ceci résulte d'un changement analytique d'une loi composée où le paramètre de la loi binomiale est aléatoire et donné par une loi bêta. Plus précisément, si

est la loi binomiale où est une variable aléatoire de loi bêta

alors la loi composée est donnée par

En utilisant les propriétés de la fonction bêta, ceci peut être écrit de la manière suivante :

Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.

Loi bêta-binomiale dans un modèle d'urnes[modifier | modifier le code]

La loi bêta-binomiale peut également être représentée par un modèle d'urnes, pour des paramètres et entiers positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant α boules rouges et β boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération fois, alors la probabilité de tirer boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres et .

Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est hypergéométrique.

Moments et propriétés[modifier | modifier le code]

Les trois premiers moments sont

et le kurtosis est

Si on pose , on remarque que la moyenne peut être écrite sous la forme et la variance par

est la corrélation deux à deux entre les tirages de Bernoulli et est appelé le paramètre de sur-dispersion.

Estimations ponctuelles[modifier | modifier le code]

Méthode des moments[modifier | modifier le code]

L'estimation par la méthode des moments peut être obtenue par l'utilisation des premier et deuxième moments de la loi bêta-binomiale, c'est-à-dire

et en les considérant égaux aux moments empiriques

En résolvant en et en , on obtient

Maximum de vraisemblance[modifier | modifier le code]

Alors que la méthode du maximum de vraisemblance est inutilisable, sachant que la densité de probabilité est la densité d'un couple de fonction (fonction gamma et/ou fonction bêta), elles peuvent être facilement calculée via une optimisation numérique directe. Les estimées du maximum de vraisemblance à partir des données empiriques peuvent être calculées en utilisant des méthodes générales adaptées aux lois de Pólya multinomiales décrites dans (Minka 2003).

Exemple[modifier | modifier le code]

Les données suivantes donnent le nombre de garçons parmi les 12 premiers enfants de familles de 13 enfants, pour 6115 familles prises dans des données d’hôpital en Saxe au XIXe siècle (Sokal et Rohlf, p. 59 de Lindsey). Le 13e enfant est ignoré pour considérer le fait non aléatoire que des familles s'arrêtent quand elles obtiennent le genre attendu.

Garçons 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Familles 3 24 104 286 670 1 033 1 343 1 112 829 478 181 45 7

Les deux premiers moments empiriques sont

et ainsi les estimées par la méthode des moments sont

Les estimées par le maximum de vraisemblance peuvent être trouvées numériquement

et le maximum de log-vraisemblance est

Références[modifier | modifier le code]

* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Rapport technique de Microsoft.

Liens externes[modifier | modifier le code]