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Logarithmique
Paramètres
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1\!}
Support
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}
Fonction de masse
−
1
ln
(
1
−
p
)
p
k
k
{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}
Fonction de répartition
1
+
B
p
(
k
+
1
,
0
)
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}
Espérance
−
1
ln
(
1
−
p
)
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}
Mode
1
{\displaystyle 1}
Variance
−
p
p
+
ln
(
1
−
p
)
(
1
−
p
)
2
ln
2
(
1
−
p
)
{\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}
Fonction génératrice des moments
ln
(
1
−
p
exp
(
t
)
)
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!}
Fonction caractéristique
ln
(
1
−
p
exp
(
i
t
)
)
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!}
modifier
En Probabilité et en statistiques , la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant:
−
ln
(
1
−
p
)
=
p
+
p
2
2
+
p
3
3
+
⋯
.
{\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}
pour
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
∑
k
=
1
∞
−
1
ln
(
1
−
p
)
p
k
k
=
1.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}
On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p ):
f
(
k
;
p
)
=
P
(
X
=
k
)
=
−
1
ln
(
1
−
p
)
p
k
k
{\displaystyle f(k;p)=P(X=k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}
pour
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
La fonction de répartition associée est
F
(
k
)
=
1
+
B
p
(
k
+
1
,
0
)
ln
(
1
−
p
)
{\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}
où
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
fonction bêta incomplète .
Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative : si
N
{\displaystyle N}
loi de Poisson et que
X
i
{\displaystyle X_{i}}
i
{\displaystyle i}
p ), alors
∑
n
=
1
N
X
i
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}X_{i}}
est distribuée selon une loi binomiale négative.
Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations .
Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions , Wiley-Interscience, ISBN 0471272469 , chapitre 7 (p. 285-304
