Loi logarithmique

Logarithmique
Paramètres	$p\in \left]0,1\right[\!$ $q=1-p$
Support	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$
Fonction de masse	${\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$
Fonction de répartition	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln q}}\!$
Espérance	${\frac {-1}{\ln q}}\;{\frac {p}{q}}\!$
Mode	$1$
Variance	$-p\;{\frac {p+\ln q}{q^{2}\,\ln ^{2}q}}\!$
Fonction génératrice des moments	${\frac {\ln(q\,\exp(t))}{\ln q}}\!$
Fonction caractéristique	${\frac {\ln(q\,\exp(i\,t))}{\ln q}}\!$
Fonction génératrice des probabilités	${\frac {\ln(1-pt)}{\ln q}}$

En Probabilité et en statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant :

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

pour $0<p<1$. On peut en déduire l'identité qui suit :

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p) :

$f(k;p)=P(X=k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

pour $k\geq 1$, et où $0<p<1$.

La fonction de répartition associée est

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

où $\mathrm {B}$ est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si $N$ est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que $X_{i}$, $i$ = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

$\sum _{n=1}^{N}X_{i}$

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références

• Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley-Interscience, (ISBN 0471272469), chapitre 7 (p. 285-304)