Fonction de Heaviside

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La fonction H0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche d'escalier ou, par erreur de traduction de l'anglais step, fonction d'étape ou encore indicatrice de {\R}^+), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction H discontinue prenant la valeur 0 pour tous les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.

Présentation et propriétés[modifier | modifier le code]

C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction Hx satisfait l'égalité Hx(0) = x pour x un réel quelconque.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction de Heaviside peut être calculée formellement au sens des distributions : \ H' = \delta , la distribution de Dirac.

En effet, en partant tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

\langle H',\phi \rangle = - \langle H,\phi' \rangle

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

\langle H',\phi \rangle = -\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)\phi'(x)\mathrm{d}x

Une primitive de \phi'(x) est \phi(x).

Nous avons alors :

\langle H',\phi \rangle = -\int_{0}^{+\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x = - \lim_{x\to\infty}\phi(x) + \phi(0)

Or, \phi \in\mathcal{D}, l'espace des fonctions test sur \mathbb{R}, donc \lim_{x\to\infty}\phi(x) = 0

D'où on déduit l'expression formelle de la dérivée de l'échelon de Heaviside :

\langle H',\phi \rangle = \phi(0) = \langle \delta,\phi \rangle,

par définition de l'impulsion de Dirac, \delta.

Primitive[modifier | modifier le code]

Une primitive de la fonction de Heaviside est donnée par x\mapsto xH(x). En effet, la dérivation de cette expression s'écrit :

\forall x \in \R,\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xH(x))=H(x)+x\delta_0

or \ x\delta_0=0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]