Fonction caractéristique (théorie des ensembles)

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les fonctions caractéristiques en théorie des ensembles. Pour les articles homonymes, voir Fonction caractéristique. Pour les fonctions indicatrices en analyse convexe, voir Fonction indicatrice (analyse convexe).
Le graphe de la fonction indicatrice d'un sous-ensemble à deux dimensions d'un carré.

En mathématiques, une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de E de tout élément de E.

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

\begin{array}{rcl} \chi_F : E & \longrightarrow & \{0,1\}  \\
x & \longmapsto & \left\{\begin{matrix}  1 \ \mbox{si} \ x \ \in \ F \\ 0 \ \mbox{si} \ x \ \notin \ F \end{matrix}\right. \end{array}

Une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de F est 1_F, ou encore 1\!\!1_F, parfois aussi \operatorname{I} (i majuscule).

Par exemple, la fonction de Dirichlet est la fonction caractéristique de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} : elle est définie sur \mathbb{R} et vaut 1 si x est rationnel, 0 sinon. Comme \mathbb{Q} et \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} sont denses dans \mathbb{R}, c'est une fonction partout discontinue.

Attention[modifier | modifier le code]

Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination a pour avantage d'éviter la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité.

La fonction 1F peut désigner la fonction identité.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

\left( A \subseteq B\right)\ \Leftrightarrow\ \left(\chi_{A} \le \chi_{B}\right),

et


\begin{align}
\chi_{\overline{A}}
&=
1 - \chi_A,
\\
\chi_{A\cap B}
&=
\min\{\chi_A,\chi_B\} = \chi_A \times \chi_B,
\\ 
\chi_{A\cup B}
&=
\max\{{\chi_A,\chi_B}\} = \chi_A + \chi_B - \chi_A \times \chi_B,
\\
\chi_{A \triangle B}
&=
\chi_A + \chi_B -  2 \chi_A \times \chi_B.
\end{align}

Mesurabilité[modifier | modifier le code]

Si (E, Ω) est un espace mesurable (c'est-à-dire si Ω est une tribu sur E), une partie de E est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]