Théorème de Sophie Germain

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En théorie des nombres, Sophie Germain a démontré le théorème suivant, au cours de ses recherches sur le dernier théorème de Fermat.

Théorème — Soit p un nombre premier impair pour lequel il existe au moins un nombre « auxiliaire », i.e. un autre nombre premier θ vérifiant les deux conditions suivantes :

• deux classes modulo θ consécutives et non nulles ne peuvent être simultanément des puissances p-ièmes,
• p lui-même (modulo θ) n'est pas une puissance p-ième.

Alors, si trois entiers $x, y, z$ vérifient $x^p + y^p = z^p$, l'un au moins des trois est divisible par $p^2$.

Remarques

• A fortiori, l'un au moins des trois est divisible par $p$ (c'est ce qu'on appelle le « premier cas » du dernier théorème de Fermat).

• Un "auxiliaire" de p est nécessairement de la forme 2Np+1 pour un certain entier N.

• Si p est un nombre premier de Sophie Germain, l'existence d'un θ auxiliaire est assurée : il suffit de prendre θ = 2p+1. Mais le théorème de Sophie Germain s'applique à d'autres situations (par exemple : p=3, θ=13). Elle exhiba un tel θ pour tout premier p < 100, et calcula même, pour ces p, tous les entiers N≤10 pour lesquels 2Np+1 est un auxiliaire.

• Sophie Germain démontra ce théorème comme corollaire d'un autre de ses théorèmes, moins connu : sous les mêmes hypothèses, l'un au moins des trois entiers x, y, z est divisible par θ. Ce résultat était bien plus crucial dans son approche du dernier théorème de Fermat : elle espérait en effet parvenir à montrer que pour une infinité de nombres premiers p, peut-être même tous sauf un nombre fini, le nombre d'auxiliaires θ est infini. Elle avait démontré que 3 n'a que deux auxiliaires : 7 et 13.

Source

• (en) "Voici ce que j'ai trouvé:" Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem (janvier 2010) par P. Laudenbacher et D. Pengelley, universitaires américains