Logarithme naturel

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Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, la fonction logarithme de base e, c'est-à-dire que le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle  \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle.

Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle[1], et jusque dans la première moitié du XIXe siècle[2], puis log.[3] ou log[4] dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)[5] avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 1961[6] et ISO 80000-2[7] : la notation ln (avec un succès cependant très relatif: la notation log est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres[8], quasiment systématiquement).

Logarithme neperien.svg

Historique[modifier | modifier le code]

Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens[9]. On date en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 1649[10]. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole[11]. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, quand celui-ci met en place sa série de Mercator[12]. Sa série exploitée par Newton (Method of Fluxions and Infinite series, 1671), permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent[13]. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus « simple » et le plus naturel.

Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

La fonction x1/x est continue sur ]0,+∞[. Elle admet donc des primitives dont l'une s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :

\forall x \in \R^*_+,\ \ln x=\int_1^x \frac1t~\mathrm dt.

Étude de la fonction[modifier | modifier le code]

  • La fonction logarithme naturel est définie et dérivable (donc continue) sur ]0,+∞[ et pour tout réel x strictement positif,
    \ln'x=\frac1x.
  • Puisque sa dérivée est strictement positive, on en déduit que le logarithme naturel est strictement croissant.
  • Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont :
    \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty.
    C'est donc une bijection de ]0,+∞[ sur ℝ.
  • Son nombre dérivé au point 1 (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées (1,0)) est :
    \lim\limits_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}h=1.

La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identités logarithmiques.

Le logarithme naturel est un cas particulier de fonction logarithme, c'est-à-dire que pour tous réels x et y strictement positifs, on a

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).

En effet, pour y>0 fixé, la fonction x↦ln(xy) (définie sur sur ]0,+∞[) a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réelle k : ln(xy)=ln(x)+k, avec k=ln(y) puisque ln(1y)=ln(1)+k=k.

De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réels a et b strictement positifs :

  • \ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)
  • \forall r\in\Q,\ \ln(a^r) = r \ln(a).

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réel a strictement positif, le logarithme de base a en fonction du logarithme népérien :

\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}.

La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle[modifier | modifier le code]

L'étude de la fonction logarithme naturel a montré que c'est une bijection de ]0,+∞[ dans ℝ. Sa bijection réciproque, de ℝ dans ]0,+∞[, coïncide avec la fonction exponentielle, puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sa caractérisation ci-dessus.

Autrement dit :

\forall x\in\R^\star_+,\ e^{\ln(x)}=x\quad\text{et}\quad\forall y\in\R,\ \ln(e^y)=y,

ce qui se résume en :

\forall x\in \R^*_+,~\forall y\in\R,\qquad y=\ln x\Leftrightarrow x=e^y

et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Cette relation permet d'exprimer toutes les autres fonctions exponentielles de base un réel a strictement positif par (pour tout réel x) :

a^x = e^{x \ln(a)}.

Cette définition coïncide évidemment avec celle de ar pour r rationnel.

Développement en série[modifier | modifier le code]

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator
La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série
2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}

C'est Nicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement en série entière de ln(1+x) ; le rayon de convergence de ce développement est 1. On a donc la série de Taylor :

\begin{align}
\forall x\in\;]{-1},1[,\quad\ln(1 + x) 
&=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\\
&=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\\
&=x\left(\frac11-x\left(\frac12-x\left(\frac13-x\left(\frac14-x\left(\frac15-\ldots\right)\right)\right)\right)\right).
\end{align}

La formule de Taylor avec reste intégral permet de montrer que ce développement est encore valide pour x=1. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée.

D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à x= -1[14]. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de 1/(1-1), c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : « la série harmonique tronquée en N est proche du logarithme de N lorsque N est grand ».

Pour obtenir un meilleur taux de convergence, on peut en déduire :

\begin{align}
\forall x\in\;]{-1},1[,\quad\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
&=2x\left(\frac11+\frac13x^2+\frac15x^4+\frac17x^6+\frac19x^8+\ldots\right)\\
&=2x\left(\frac11+x^2\left(\frac13+x^2\left(\frac15+x^2\left(\frac17+x^2\left(\frac19+\ldots\right)\right)\right)\right)\right),
\end{align}

qui se réécrit :

\forall y\in\;]0,+\infty[,\quad\ln(y)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}.

Propriétés complémentaires[modifier | modifier le code]

Étude des limites[modifier | modifier le code]

Les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme naturel et d'une fonction puissance quelconque :

\mathrm{pour~tout~r\acute eel~}\alpha>0,\qquad\lim\limits_{x \to 0} x^{\alpha}\ln(x) = 0\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0.

Dérivée logarithmique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivée logarithmique.

Pour toute fonction réelle dérivable u, la fonction composée ln∘|u| (définie en tout point où u ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée

\left(\ln\circ|u|\right)'=\frac{u'}u.

Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme complexe.

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0,+∞[) s'est posée dès la seconde moitié du XVIIe siècle avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur ]0,+∞[ avec la fonction logarithme népérien réelle.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réel a strictement positif, ln(–a)=ln(a)+iπ, mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction x↦|ln(x)|, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la valeur absolue comme un module :

\left|\ln(-a)\right| = \sqrt{\ln^2(a) + \pi^2} pour a réel strictement positif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple Leonhard Euler, Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientarum Petropolitanae 9 (1737), 160–188; quoque in: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.
  2. Voir par exemple Augustin Cauchy, Exercices d'analyse et de physique mathématique, vol. 3, p. 379 lire en ligne
  3. Voir par exemple Adrien-Marie Legendre, Essai sur la théorie des nombres, A Paris, chez Duprat, libraire pour les mathématiques, quai des Augustins. An VI (1797 ou 1798).
  4. Voir par exemple Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Berlin 1909 (second edition by Chelsea, New York 1953).
  5. Voir les manuels scolaires en France jusqu'en 1972 et même parfois au-delà
  6. NF X 02-1 01 selon les tables numériques Labordes, p. VI, 1976
  7. ISO 80000-2:2009, Organisation internationale de normalisation
  8. Voir par exemple cette note de Hardy et Wright dans leur "Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008) "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."
  9. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales,‎ 1986 [détail des éditions], p. 214
  10. Jean-Pierre Le Goff, De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent, in La démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Besançon
  11. [PDF] Simone Trompler, L'histoire des logarithmes, ULB, p. 11
  12. [PDF] Logarithme et quadrature de l'hyperbole Sur le site Euler de l'académie de Versailles, p. 3
  13. [PDF] Simone Trompler, L'histoire des logarithmes, ULB, p. 12
  14. Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausanne 1748. Exemplum 1, p. 228; quoque in: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]