Théorème

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Un théorème est une affirmation (mathématique) qui peut être démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.

Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai quelle que soit la valeur de vérité de sa prémisse (hypothèse de base) car il se présente sous la forme d'une implication : si A est vraie alors B est nécessairement vraie. Il peut alors être utilisé pour démontrer d'autres propositions. Démontrer le théorème consiste à démontrer l'impossibilité d'avoir à la fois A vrai et B faux.

Un théorème a généralement :

  • des hypothèses de base, i.e. des conditions qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance,
  • une conclusion, i.e. une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base.

La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème.

Autre définition possible d'un théorème : « un énoncé dont on peut démontrer l’exactitude. »

La démonstration comprend :

  • des axiomes ;
  • les hypothèses du théorème ;
  • d'autres théorèmes déjà démontrés.

Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques.

D'autres formes d'assertions[modifier | modifier le code]

Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

  • lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
  • corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie. (Voir corollaire sur le wiktionnaire)
  • proposition : résultat relativement simple qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
  • remarque : résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation ;
  • conjecture : proposition mathématique dont on ignore la valeur de vérité. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème.

Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux (voir système d'axiomes) et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes et d'autres théorèmes démontrés auparavant. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

Articles connexes[modifier | modifier le code]