Fonction convexe

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Fonction convexe.

En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe si son graphe est « tourné vers le haut » ; on veut dire par là que si A et B sont deux points du graphe de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-dessus du graphe. Cela revient au même de dire que l'épigraphe (l'ensemble des points qui sont au-dessus du graphe) est un ensemble convexe. À l'inverse, une fonction dont le graphe est « tourné vers le bas » est dite concave (c'est alors son hypographe - l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe - qui est convexe).

En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points A et B ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle I\subset\R est convexe lorsque, pour tous x et y de I et tout t dans [0, 1] on a


f\left(t x+(1-t)y\right) \leq t f(x)+(1-t)f(y).

Lorsque l'inégalité est stricte (avec x différent de y et t dans {]0, 1[}), on parle de fonction strictement convexe.

Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel arbitraire.

Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l'analyse convexe, une discipline « intermédiaire » entre l'algèbre linéaire et l'analyse non linéaire. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).

Fonction convexe d'une variable réelle[modifier | modifier le code]

Función convexa.png

Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle I de \mathbb{R}. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentation graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. Cette approche montre tout de même vite ses limites, en particulier parce qu'elle n'est guère pertinente pour appliquer la théorie des fonctions convexes à l'optimisation qui en est sans doute la principale motivation.

Le lecteur qui recherche la définition d'une fonction convexe de plusieurs variables, ou définie sur un ensemble convexe d'un espace vectoriel ou affine est invité à se rendre directement à la section suivante.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition — Une fonction f d’un intervalle I de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est dite convexe lorsque, pour tous x_1 et x_2 de I et tout \lambda dans [0, 1] on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) \leq \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2)

Cela signifie que pour tout x_1 et x_2 de I, le segment \ [A_1, A_2] de \ \R^2, où \ A_1 = (x_1 , f(x_1)) et \ A_2 = (x_2 , f(x_2)), est situé au-dessus de la courbe représentative de f.

Une fonction concave est une fonction dont la fonction opposée est convexe.

On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe :

Remarque — La fonction f est convexe sur I si et seulement si \ \{(x,\, y) \in I \times \R\, | y \geq f(x)\} est un sous-ensemble convexe de \ \R^2.

Cet ensemble est appelé l'épigraphe de f.

Exemple : la fonction x\,\colon\, \mapsto |x| est convexe, parce que son épigraphe est un quart de plan (lui-même convexe comme intersection de deux demi-plans). Il est souvent malcommode de vérifier la convexité d'une fonction définie par une formule concrète à partir de la seule définition, on attendra donc quelques paragraphes pour donner d'autres exemples, lorsqu'on disposera d'un critère de convexité plus utilisable en pratique.

Possibilité de n'utiliser que des milieux[modifier | modifier le code]

La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de [0,1]. Il est possible de n'utiliser que des milieux, mais il est alors indispensable d'ajouter une hypothèse supplémentaire de régularité portant sur f[1].

Proposition — Une fonction f continue sur I est convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x_1 et x_2 de I :

f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.

Extension à des barycentres de plus de deux points[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Inégalité de Jensen.

L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l’entier p). On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen :

Proposition — Si f est convexe sur I et si x_1,\, \dots,\, x_p sont des points de I et \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p des réels positifs ou nuls tels que \lambda_1 + \cdots + \lambda_p = 1, alors :

f(\lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_p\, x_p) \leq \lambda_1\, f(x_1) + \cdots + \lambda_p\, f(x_p).

Géométrie du graphe d'une fonction convexe[modifier | modifier le code]

On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivant[2] :

Proposition — Si f est convexe sur I, pour tous points x_1, x_2, x_3 de I avec x_1< x_2< x_3

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.

Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous x_1, x_2, x_3 de I avec x_1< x_2< x_3 , alors f est convexe.

On trouve une démonstration ici sur la wikiversité.

Régularité des fonctions convexes[modifier | modifier le code]

Le « lemme des trois cordes » permet de montrer que[3] :

Théorème — Si f est convexe sur un intervalle ouvert I

Cas des fonctions dérivables[modifier | modifier le code]

On dispose des caractérisations suivantes :

Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

d'où on tire le corollaire immédiat fort pratique pour vérifier sans mal la convexité d'exemples spécifiques :

Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f'' est à valeurs positives ou nulles.

Ainsi on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants :

  • la fonction \ \R \to \R,\, x \mapsto x^2 est convexe ;
  • la fonction \ \R \to \R,\, x \mapsto \exp{x} est convexe ;
  • la fonction \ \R^*_+ \to \R,\, x \mapsto \ln{x} est concave.

Stricte convexité[modifier | modifier le code]

En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité, la stricte convexité.

Définition — Une fonction f d’un intervalle I de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est dite strictement convexe lorsque, pour tous x_1 et x_2 distincts dans I et tout \lambda dans ]0, 1[ on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) < \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2)

Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes. On prendra garde à une nuance : de même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante. En revanche, il ne faudrait pas croire que la dérivée seconde d'une fonction dérivable strictement convexe est nécessairement une fonction à valeurs strictement positives : la dérivée d'une fonction strictement croissante peut s'annuler occasionnellement, ou plus exactement peut s'annuler sur un ensemble de points d'intérieur vide. Penser à f\,\colon\, x\mapsto x^4 pour un exemple de fonction strictement convexe dont la dérivée seconde s'annule.

Fonction convexe définie sur un espace vectoriel[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

Convexité[modifier | modifier le code]

On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe, qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.

Définition 1 — Soient E un espace vectoriel (ou affine) réel, C\subset E un convexe et f:C\to\R une fonction. On dit que f est convexe lorsque pour tous x_0 et x_1\in C et tout t\in[0,1], on a
 f((1-t) x_0+tx_1) \leqslant (1-t) f(x_0)+t f(x_1).

Dans la définition suivante, on a noté \operatorname{dom}f:=\{x\in E:f(x)<+\infty\} le domaine (effectif) d'une fonction f:E\to\bar{\R}, définie sur un ensemble E à valeurs dans la droite réelle achevée \bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}.

Définition 2 — Soient E un espace vectoriel (ou affine) réel et f:E\to\bar{\R} une fonction. On dit que f est convexe lorsque l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

  • l'épigraphe \operatorname{epi}\,f est convexe,
  • pour tous x_0 et x_1\in\operatorname{dom}f et tout t\in[0,1], on a
     f((1-t) x_0+tx_1) \leqslant (1-t) f(x_0)+t f(x_1).

Étant donnée une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de C par la valeur +\infty ; réciproquement étant donnée une fonction convexe f:E\to\R\cup\{+\infty\} au sens de la définition 2, il est immédiat de vérifier que C:=\operatorname{dom}\,f est un convexe et la restriction de f à C est alors une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.

Certaines sources requièrent de plus que C soit non-vide (dans la définition 1) ou que f ne soit pas la constante +\infty (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés[4].

La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par Rockafellar et Moreau[5]. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. La définition 2 est la plus communément utilisée an analyse convexe, pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'enveloppe supérieure, la fonction d'appui, la fonction marginale, la fonction duale en optimisation, etc.

Stricte convexité[modifier | modifier le code]

Soient E un espace vectoriel (ou affine) réel et f:E\to\R\cup\{+\infty\} une fonction. On dit que f est strictement convexe si, pour tous x_0 et x_1\in\operatorname{dom}f, avec x_0\ne x_1, et tout t\in{]0,1[}, on a


f((1-t) x_0+tx_1) < (1-t) f(x_0)+t f(x_1).

Forte convexité[modifier | modifier le code]

Soit (\mathbb{E},\|\cdot\|) un espace normé. On dit que f:\mathbb{E}\to\R\cup\{+\infty\} est fortement convexe, de module \alpha>0, si pour tout x_0 et x_1 dans le domaine de f et pour tout t\in[0,1]\subset\R, on a


f((1-t)x_0+tx_1)\leq(1-t)f(x_0)+tf(x_1)-\frac{\alpha}{2}\,t(1-t)\|x_0-x_1\|^2.

On retrouve la notion de fonction convexe lorsque \alpha=0.

Exemples de fonctions convexes[modifier | modifier le code]

Voici quelques exemples de constructions de fonctions convexes :

Voici des exemples concrets de fonctions convexes :

  • la fonction quadratique x\in\R^n\mapsto\textstyle\frac{1}{2}x^\top Ax-b^\top x est convexe si, et seulement si, la matrice A\in\R^{n\times n} est semi-définie positive ; elle est strictement convexe si, et seulement si, A est définie positive,
  • la fonction log-det : X\in\mathcal{S}^n_{++}\mapsto-\log\det X est strictement convexe (\mathcal{S}^n_{++} désigne l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n définies positives).

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques-unes :

  • Dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe.


Minorante affine[modifier | modifier le code]

La technique de minoration des fonctions convexes par des fonctions affines est une variante adaptée à l'analyse de l'utilisation des hyperplans d'appui en géométrie convexe. La forme analytique du théorème de Hahn-Banach permettrait de minorer directement une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur la totalité de son espace de départ. En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques[6].

Proposition — Soit E un espace vectoriel topologique, f une fonction convexe et continue définie sur un ouvert convexe non vide U de E et x_0 un point de U. Il existe alors une fonction affine continue qui minore f et qui coïncide avec elle en x_0.

On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur U est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe f(x) = -\sqrt{1-x^2} sur [-1,1] (dont le graphe est un demi-cercle) et x_0=1, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente.

Reconnaître une fonction convexe par ses dérivées[modifier | modifier le code]

Utilisation des dérivées premières[modifier | modifier le code]

Voici un premier résultat permettant de reconnaître la convexité d'une fonction au moyen de ses dérivées premières. On note f'(x)\cdot v la valeur que prend l'opérateur linéaire continu qu'est la dérivée f'(x)\in\mathcal{L}(\mathbb{E},\R) sur le vecteur v\in\mathbb{E}. Le point 2 ci-dessous signifie que y\mapsto f(x) + f'(x)\cdot(y-x) est une minorante affine de f, exacte en x ; le point 3 exprime la monotonie de de la dérivée.

Convexité et dérivées premières — Soient \mathbb{E} un espace normé, \Omega un ouvert convexe de \mathbb{E} et f: \Omega \to \R une fonction dérivable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est convexe sur \Omega,
  2. \forall\, x,y\in\Omega : f(y) \geqslant f(x) + f'(x)\cdot(y-x),
  3. \forall\, x,y\in\Omega : (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\geqslant 0.

Un résultat analogue permet de caractériser la stricte convexité d'une fonction. Il suffit de remplacer les inégalités ci-dessus par des inégalités strictes et de supposer que les points d'évaluation x et y diffèrent.

Stricte convexité et dérivées premières I — Soient \mathbb{E} un espace normé, \Omega un ouvert convexe de \mathbb{E} et f: \Omega \to \R une fonction dérivable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est strictement convexe sur \Omega,
  2. \forall\, x,y\in\Omega, x\ne y : f(y) > f(x) + f'(x)\cdot(y-x),
  3. \forall\, x,y\in\Omega, x\ne y : (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)> 0.

En dimension finie, les inégalités ci-dessus peuvent être renforcées[7]. On y a noté B:=\{x\in\mathbb{E}:\|x\|\leqslant1\} la boule unité fermée et \beta B:=\{x\in\mathbb{E}:\|x\|\leqslant\beta\}.

Stricte convexité et dérivées premières II — Soient \mathbb{E} un espace vectoriel de dimension finie, f:\mathbb{E}\to\R une fonction de classe C^1 et t\in{]0,1[}. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est strictement convexe,
  2. pour tout \beta>0, il existe une fonction g_\beta:[0,2\beta]\to\R_+ continue, strictement croissante, vérifiant g_\beta(0)=0 et
    \forall\,x, y\in\beta B:\quad f(y)-f(x)\geqslant f'(x)\cdot(y-x)+(1-t)g_\beta(t\|y-x\|),
  3. pour tout \beta>0, il existe une fonction g_\beta:[0,2\beta]\to\R_+ continue, strictement croissante, vérifiant g_\beta(0)=0 et
    \forall\,x, y\in\beta B:\quad (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\geqslant g_\beta(\|y-x\|).

On peut enfin caractériser la forte convexité au moyen des dérivées premières.

Forte convexité et dérivées premières — Soient \mathbb{E} un espace euclidien, \Omega un ouvert convexe de \mathbb{E} et f: \Omega \to \R une fonction dérivable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est fortement convexe sur \Omega,
  2. \forall\, x,y\in\Omega : f(y) \geqslant f(x) + f'(x)\cdot(y-x)+\frac{\alpha}{ 2}\|y-x\|^2,
  3. \forall\, x,y\in\Omega : (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\geqslant \alpha\|y-x\|^2.

Utilisation des dérivées secondes[modifier | modifier le code]

On note ci-dessous f''(x)\cdot (u,v) la valeur réelle que prend l'opérateur bilinéaire continu qu'est la dérivée seconde f''(x)\in\mathcal{L}_2(\mathbb{E},\R) sur le couple de vecteurs (u,v)\in\mathbb{E}^2. On note alors f''(x)\cdot v^2:=f''(x)\cdot (v,v), pour simplifier.

Convexité et dérivées secondes — Soient \mathbb{E} un espace normé, \Omega un ouvert convexe de \mathbb{E} et f: \Omega \to \R une fonction deux fois dérivable. Alors f est convexe sur \Omega si, et seulement si,


\forall\, x \in \Omega,~~
\forall\, d \in \mathbb{E}:\quad
f''(x) \cdot d^2 \geqslant 0.

D'autre part, si


\forall\, x \in \Omega,~~ \forall\, d \in \mathbb{E}\setminus\{0\}:\quad
f''(x) \cdot d^2 > 0,

alors f est strictement convexe sur \Omega.

La seconde condition peut ne pas être vérifiée par une fonction strictement convexe. Par exemple, f:\R\to\R:x\mapsto x^4 est strictement convexe, mais f''(0)=0.

Fonctions convexes en dimension finie[modifier | modifier le code]

Problèmes de continuité[modifier | modifier le code]

Continuité sur un ouvert[modifier | modifier le code]

Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de \R^n est forcément continue en tout point de l'ouvert. La démonstration va nous donner une information plus précise[8] :

Théorème — Une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur un ouvert de \R^n est localement lipschitzienne, et donc continue.

Discontinuités au bord[modifier | modifier le code]

À une variable, sur un intervalle non ouvert, on a vu qu'une fonction convexe n'était pas nécessairement continue.

Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si f est convexe sur un intervalle [a,b], alors nécessairement la limite à droite f^+(a) de f en a existe et est inférieure ou égale à la valeur f(a). La discontinuité de f en la borne a se produit alors dans le cas où f^+(a)<f(a). On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de f en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par f^+(a)[9].

Dès la dimension 2, les choses ne sont pas aussi confortables, comme le montre l'exemple suivant :

Soit C le disque-unité fermé de \R^2 ; considérons la fonction f définie sur C par :

\left\{\begin{matrix}f(x,y)&=&\displaystyle{x^2\over{y+1}}&\mbox{si }(x,y)\not=(0,-1)\\ f(0,-1)&=&0&\\ \end{matrix}\right.

Cette fonction f est convexe. Elle est toutefois discontinue au point (0,-1) mais ici la discontinuité ne peut être levée par une simple modification de la valeur f(0,-1). On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, f(0,y) tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers (0,-1) le long du cercle frontière de C, f(x,y) tend vers 2. Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs valeurs d'adhérence de f au point (0,-1) et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette f continue en modifiant ses valeurs sur le bord[10].

Toutefois, si l'ensemble de définition est un polytope, les choses se passent comme sur les intervalles de \R, comme on peut le voir en appliquant le théorème suivant[11] :

Théorème — Une fonction convexe bornée définie sur l'intérieur d'un polytope admet un prolongement convexe continu au polytope.

Fermeture d'une fonction convexe[modifier | modifier le code]

Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe f sur la frontière de son domaine de définition jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois semi-continu inférieurement (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes).

Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout \R^n et prenant éventuellement la valeur +\infty ; on appellera domaine effectif d'une telle fonction convexe l'ensemble des points où elle prend une valeur finie.

Théorème — Soit f une fonction convexe de domaine effectif D_f\subset \R^n. On note \overline f la fonction définie en x\in\R^n par :


\overline f(x):=\liminf_{y\to x} f(y).

La fonction \overline f est alors caractérisée par l'une au choix des trois propriétés suivantes :

  1. \overline f coïncide avec f en les points qui ne sont pas sur la frontière relative de D_f\, ; elle est convexe et semi-continue inférieurement ;
  2. \overline f coïncide avec f en les points qui ne sont pas sur la frontière relative de D_f et, pour tout point x de la frontière relative de D_f et tout segment semi-ouvert ]x,z] inclus dans l'intérieur relatif de D_f, f(x)=\lim_{\stackrel{y\to x}{y\in]x,z]}}f(y) ;
  3. \overline f a pour épigraphe l'adhérence de l'épigraphe de f.

La fonction \overline f est appelée la fermeture de f. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement[12].

Fonction à valeurs vectorielles[modifier | modifier le code]

On peut aussi introduire une notion de convexité pour les fonctions à valeurs vectorielles, pourvu que l'on se donne un cône dans l'espace d'arrivée de la fonction.

De façon plus précise, on suppose donnés deux espaces vectoriels \mathbb{E} et \mathbb{F}, un convexe C\subset\mathbb{E} et un cône pointé convexe K\subset\mathbb{F}. On dit que F:C\to\mathbb{F} est K-convexe si pour tous x_0 et x_1\in C et pour tout t\in[0,1], on a


F((1-t)x_0+tx_1)\in(1-t)F(x_0)+tF(x_1)-K.

Par les propriétés supposées de K, l'ensemble des fonctions K-convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de \mathbb{E} dans \mathbb{F} (parce que K est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que K est pointé).

Si le cône K est également saillant, il induit sur \mathbb{F} un ordre partiel, noté \leqslant_K et défini par


y_1\leqslant_K y_2
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
y_2-y_1\in K.

Alors l'expression ci-dessus de la K-convexité de F s'écrit aussi


F((1-t)x_0+tx_1)\leqslant_K (1-t)F(x_0)+tF(x_1),

ce qui rappelle l'inégalité de convexité familière.

Applications en physique[modifier | modifier le code]

L'analyse convexe trouve un grand nombre d'applications en physique, lorsque les potentiels énergétiques sont localement convexes (existence de solutions stables, de changements de phase). En homogénéisation, par exemple, les théories de type variationnel permettent d'estimer les solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques grâce à la représentation des potentiels énergétiques par transformée de Legendre. La transformée de Legendre, formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation[13].

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Les ouvrages mentionnés par des lettres entre crochets dans ces références sont ceux cités dans la section bibliographique.

  1. Ce résultat est mentionné par [NP] p. 10, qui l'attribuent à Johan Jensen et renvoient à son article « Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes », Acta Mathematica vol. 30 (1906), p. 175-193. La deuxième preuve ci-dessous est celle fournie dans [N-P].
  2. Ce résultat est cité par [N-P], p. 20-21, qui l'attribuent à L. Calvani, renvoyant à son article « Sulle funzioni converse di una o due variablili definite in aggregate qualunque », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 41 (1916), p. 103-134.
  3. Voir [N-P], p. 21. Cet ouvrage attribue le théorème de dérivabilité à gauche et à droite à Otto Stolz, renvoyant à son traité Grundzüge der Differential und Integralrechnung, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1893.
  4. Pour l'ensemble de cette sous-section, voir [H-L], p.74 à 76.
  5. Selon ce qu'en dit R.T. Rockafellar dans le CIM Bulletin.
  6. La proposition qui suit est énoncée dans [N-P], p. 114 (sous l'hypothèse d'un espace E normé, qui ne joue pas un rôle essentiel dans la preuve).
  7. Lemmes 1.1 et 1.2, pages 61 et 63chez Glowinski, Lions, Tremolières (1976).
  8. [H-L], p. 102-104, la minoration de la fonction convexe ayant été adaptée au vu de [N-P], p. 119.
  9. Ces remarques sont disponibles, avec leurs preuves et quelques détails, dans [N-P], p. 22.
  10. L'exemple figure dans [H-L] p. 105, avec l'explication de la convexité de f.
  11. Ce théorème est cité sans démonstration par [N-P], p. 123, qui renvoie à D. Gale, V. Klee et R.T. Rockafellar, « Convex functions on convex polytopes », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 19 (1968), p. 867-873.
  12. Pour l'ensemble de cette sous-sous-section, voir [H-L], p.79-80. [N-P], p. 122, mentionne également ces résultats en les attribuant à Werner Fenchel, renvoyant à Convex cones, sets and fucnctions, Princeton University Press, 1951.
  13. Voir pour un aperçu § 4 in Ivar Ekeland, Roger Temam, SIAM, 1999, Convex Analysis and Variational Problems, ISBN 0-89871-399-4.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • R. Glowinski, J. L. Lions, R. Tremolières (1976). Analyse Numérique des Inéquations Variationnelles - Tome 1: Théorie Générale, Premières Applications. Dunod-Bordas, Paris.
  • (en) [H-L] - Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056)
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