Fonction gamma

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Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels

En mathématiques, la fonction gamma (ou fonction Gamma) est une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

Définition[modifier | modifier le code]

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe

Pour tout nombre complexe z tel que Re(z) > 0, on définit la fonction suivante, appelée fonction gamma, et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule)

\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty}  t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t

Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.

Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0,  −1, −2, −3… qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». Utilisant l'unicité du prolongement analytique, on montre que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente, ce qui permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale et en calculant de proche en proche Γ pour z-1, z-2, etc.

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lien avec la factorielle[modifier | modifier le code]

Une intégration par parties montre que

\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z).

Comme en particulier \Gamma(1)=1, on en déduit :

\forall\,n \in\N, \; \Gamma(n+1)=n!

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction pi, introduite par Gauss :

\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z),

de telle façon que :

\Pi(n) = n! \; .

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Sur l'ensemble des réels[modifier | modifier le code]

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur \R_+^* par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):

  • \Gamma(1)=1\,
  • Pour tout  x>0\,, on a : \Gamma(x+1)=x \; \Gamma(x)\,
  • la fonction composée \ln \circ\, \Gamma\, est convexe sur \R_+^*

Sur le demi-plan complexe Re(z)>0[modifier | modifier le code]

La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :

  • \Gamma(1)=1\,
  • Pour tout z tel que Re(z)>0, \Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)\,
  • |\Gamma(z)|\, est bornée dans la bande 1 ≤ Re(z) ≤ 2.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Formule des compléments[modifier | modifier le code]

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments :

\forall z\ \text{tel que}\ 0<\mathrm{Re}(z)<1,\ \Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin (\pi z)}

Formule de multiplication[modifier | modifier le code]

La fonction gamma vérifie également la formule de duplication : \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :


\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

Résidus[modifier | modifier le code]

La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

Dérivées[modifier | modifier le code]

La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur \R_+^*. Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma : \Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\,

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur \R_+^* l'expression intégrale suivante :

\Gamma^{(p)}(x)=\int_{0}^{+\infty}{(\ln(t))^{p}\,t^{x-1}\,e^{-t}\,\rm{d}t}

Lien avec les sommes de Gauss[modifier | modifier le code]

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif (x\mapsto x^s).

Lien avec d'autres fonctions[modifier | modifier le code]

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes[1] : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :

\ln \Gamma(z) = \ln \Gamma(z+1) - \ln(z)~.

Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.

Rocktaeschel (1922, suivant une indication de Gauss) propose[2] :

\mathrm{Re}(z)= \frac{\ln(2\pi)}{2} + u \times \ln(u) - u~,

avec u = z - \frac{1}{2}, comme approximation (très bonne malgré sa singularité en ½,0). Appliquant m fois le transfert, on obtient[3] :

\ln\Gamma(z) \approx\mathrm{Re}(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \ln(z+k)

La dérivée du logarithme de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

L'inverse de la fonction gamma (en) est une fonction entière.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en) et de ses dérivées.

La valeur de \Gamma(1/2) est celle de l'intégrale de Gauss; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments :

\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z},

ce qui implique :

\Gamma(1/2)=\sqrt\pi.

Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :

\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt\pi}2,\quad\Gamma(5/2)=\frac{3\sqrt\pi}4,\ldots,
\Gamma \left(n+\frac12\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac12\right)=\left(n-\frac12\right)\left(n-\frac32\right)\cdots\frac32\, \frac12\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}

mais aussi négatifs, par exemple :

\Gamma(-1/2)=-2\sqrt\pi.

En ce qui concerne ses dérivées, avec \gamma la constante d'Euler-Mascheroni :

\Gamma'(n+1)=\Gamma(n+1)\psi_0(n+1)=n!\left(-\gamma+\sum_{1\le k\le n}\frac1k\right)
\Gamma'\left(n+\frac12\right)=\Gamma\left(n+\frac12\right)\psi_0\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt\pi\left(-\gamma-2\ln 2+\sum_{1\le k\le n}\frac2{2k-1}\right)
\Gamma''(1/2)=\sqrt\pi(\gamma+2\,\ln(2))^2+\frac{\pi^{5/2}}2,\quad\Gamma''(1)=\gamma^2+\frac{\pi^2}6,\quad\Gamma''(2)=(1-\gamma)^2+\frac{\pi^2}6-1.

On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Γ en certains points rationnels.

Une conjecture de Rohrlich[4] prédit que toute relation multiplicative de la forme

\pi^{b/2}\prod\Gamma(a_k)^{m_k}\in\overline{\Q},\quad (b\in\Z, a_k\in\Q, m_k\in\Z)

(où désigne le corps des nombres algébriques) se déduit des trois relations standard :

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\quad\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin(\pi z)},\quad\prod_{0\le k<n}\Gamma\left(z+\frac kn\right)=(2\pi)^{(n-1)/2}n^{-nz+1/2}\Gamma(nz).

Formule asymptotique de Stirling[modifier | modifier le code]

La formule de Stirling donne un équivalent de la factorielle, au voisinage de l'infini, et plus généralement de la fonction Gamma.

Pour la factorielle, elle s'écrit :

n\,! \sim \sqrt{2\pi n}\, {\left(\frac n {\rm e}\right)}^n

et pour la fonction Gamma :

\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi

Un développement asymptotique plus précis est  :


    \Gamma(z) = z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}
        \left[
            1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} -
            \frac{139}{51840 z^3} - \frac{571}{2488320 z^4} + O\left(\frac{1}{z^5}\right)
        \right].

Histoire : la naissance de la fonction gamma[modifier | modifier le code]

La première occurrence de la fonction gamma dans la littérature est due à Daniel Bernoulli[5] dans une lettre à Christian Goldbach.

DanielBernoulliLettreAGoldbach-1729-10-06.jpg

En notation moderne[6]

x! = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(n+1+\frac{x}{2}\right)^{x-1} \prod_{i=1}^n\frac{i+1}{i+x}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Karl Rawer, Wave Propagation in the Ionosphere, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers,‎ 1993
  2. D'après (de) O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument, université technologique de Dresde,‎ 1922, thèse de doctorat
  3. (de) P. E. Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale, Leipzig, Köhler Verlag,‎ 1939.
  4. (en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 103),‎ 1998 (ISBN 978-0-38798592-3, lire en ligne), p. 418
  5. Paul Heinrich Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, vol. II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences,‎ 1843 (lire en ligne)
  6. (en) Detlef Gronau, « Why is the gamma function so as it is? », Teaching Mathematics and Computer Science, vol. 1, no 1,‎ 2003, p. 43-53

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Calculatrice - Fonction gamma