Fonction gamma

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Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels

En mathématiques, la fonction gamma (ou fonction Gamma) est une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

Définition

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe

Pour tout nombre complexe z tel que Re(z) > 0, on définit la fonction suivante, appelée fonction gamma, et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule)

$\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$

Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.

Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0,  −1, −2, −3, ... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma". Utilisant l'unicité du prolongement analytique, on montre que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente, ce qui permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale et en calculant de proche en proche Γ pour $z-1$, $z-2$, etc.

Autres définitions

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

• $\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$ (pour le cas particulier où $z$ est un réel strictement positif, voir l'article Théorème de Bohr-Mollerup) ;
• $\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$ où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

Lien avec la factorielle

Une intégration par parties montre que

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z).$

Comme en particulier $\Gamma(1)=1$, on en déduit :

$\forall\,n \in\N, \; \Gamma(n+1)=n!$

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction pi, introduite par Gauss :

$\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z),$

de telle façon que :

$\Pi(n) = n! \$.

Caractérisations

Sur l'ensemble des réels

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur $\R_+^*$ par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):

• $\Gamma(1)=1\,$
• Pour tout $x>0\,$, on a : $\Gamma(x+1)=x \; \Gamma(x)\,$
• la fonction composée $\ln \circ\, \Gamma\,$ est convexe sur $\R_+^*$

Sur le demi-plan complexe Re(z)>0

La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :

• $\Gamma(1)=1\,$
• Pour tout z tel que Re(z)>0, $\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)\,$
• $|\Gamma(z)|\,$ est bornée dans la bande 1 ≤ Re(z) ≤ 2.

Autres propriétés

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments :

$\forall z\ \text{tel que}\ 0<\mathrm{Re}(z)<1,\ \Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin (\pi z)}$

et la formule de duplication :

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.$

La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur $\R_+^*$. Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma :

$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\,$

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède l'expression intégrale suivante:

$\Gamma^{(p)}(x)=\int_{0}^{+\infty}{(\ln(t))^{p}\,t^{x-1}\,e^{-t}\,\rm{d}t}$

Lien avec les sommes de Gauss

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif ($x\mapsto x^s$).

Lien avec d'autres fonctions

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$

Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :

$\ln \Gamma(z) = \ln \Gamma(z+1) - \ln(z)~.$

Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.

Rocktaeschel (1922, suivant une indication de Gauss) propose :

$\mathrm{Re}(z)= \frac{\ln(2\pi)}{2} + u \times \ln(u) - u~,$

avec $u = z - \frac{1}{2}$, comme approximation (très bonne malgré sa singularité en ½,0). Appliquant m fois le transfert, on obtient :

$\ln\Gamma(z) \approx\mathrm{Re}(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \ln(z+k)$

La dérivée du logarithme de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

L'inverse de la fonction gamma est une fonction entière.

Valeurs particulières

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma et de ses dérivées.

La valeur de $\Gamma(1/2)$ peut être déduite de la formule des compléments :

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z},$

ce qui implique :

$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi.$

Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :

$\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt\pi}2,\quad\Gamma(5/2)=\frac{3\sqrt\pi}4,\ldots,$

$\Gamma \left(n+\frac12\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac12\right)=\left(n-\frac12\right)\left(n-\frac32\right)\cdots\frac32\, \frac12\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}$

mais aussi négatifs, par exemple :

$\Gamma(-1/2)=-2\sqrt\pi.$

En ce qui concerne ses dérivées, avec $\gamma$ la constante d'Euler-Mascheroni :

$\Gamma'(n+1)=\Gamma(n+1)\psi_0(n+1)=n!\left(-\gamma+\sum_{1\le k\le n}\frac1k\right)$

$\Gamma'\left(n+\frac12\right)=\Gamma\left(n+\frac12\right)\psi_0\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt\pi\left(-\gamma-2\ln 2+\sum_{1\le k\le n}\frac2{2k-1}\right)$

$\Gamma''(1/2)=\sqrt\pi(\gamma+2\,\ln(2))^2+\frac{\pi^{5/2}}2,\quad\Gamma''(1)=\gamma^2+\frac{\pi^2}6,\quad\Gamma''(2)=(1-\gamma)^2+\frac{\pi^2}6-1.$

Formule asymptotique de Stirling

La formule de Stirling donne un équivalent de la factorielle, au voisinage de l'infini, et plus généralement de la fonction Gamma.

Pour la factorielle, elle s'écrit :

$n\,! \sim \sqrt{2\pi n}\, {\left(\frac n {\rm e}\right)}^n$

et pour la fonction Gamma :

$\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi$

Un développement asymptotique plus précis est  :

$\Gamma(z) = z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi} \left[ 1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \frac{139}{51840 z^3} - \frac{571}{2488320 z^4} + O\left(\frac{1}{z^5}\right) \right].$

Histoire : la naissance de la fonction gamma

La première occurrence de la fonction gamma dans la littérature est due à Daniel Bernoulli dans une lettre à Christian Goldbach.

En notation moderne

$x! = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(n+1+\frac{x}{2}\right)^{x-1} \prod_{i=1}^n\frac{i+1}{i+x}$

Bibliographie

• (en) Emil Artin, The Gamma Function. New York, NY: Holt, Rinehart and Winston, 1964 (élémentaire et classique de 1931, 39 pages).
• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], pp. 292–296 (1968), éd. Hermann
• Thomas Joannes Stieltjes, Sur le développement de log Gamma(a), Journal de mathématiques pures et appliquées 4e série, tome 5 (1889), p. 425-466.
• (en) Edmund Taylor Whittaker et George Neville Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Mathematrical Library », 1927 (4e éd.) (réimpr. 1996), 608 p. (ISBN 0-521-58807-3), « XII - The Gamma function », p. 235-264 

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de Gauss
• Distribution Gamma
• Fonction bêta
• Fonction digamma
• Fonction gamma elliptique (en)
• Fonction gamma incomplète
• Fonction gamma multivariable (en)
• Fonction polygamma
• Fonction trigamma (en)
• Formule de Chowla-Selberg
• Formule de Stirling
• Théorème de Bohr-Mollerup
• Fonctions spéciales
• Théorème de Hölder