Loi Gamma

Loi Gamma
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Fonction de répartition
Paramètres	$k > 0\,$ réel $\theta > 0\,$ réel
Support	$x \in [0,+ \infty[$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}$
Fonction de répartition	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$
Espérance	$k \theta\,$
Médiane	pas d'expression formelle
Mode	$(k-1) \theta\,$ pour $k \geq 1\,$
Variance	$k \theta^2\,$
Asymétrie	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Kurtosis normalisé	$\frac{6}{k}$
Entropie	$k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,$ $+(1-k)\psi(k)\,$
Fonction génératrice des moments	$(1 - \theta\,t)^{-k}$ pour $t < 1/\theta$
Fonction caractéristique	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}$

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma, ou loi Gamma (ou $\Gamma$, qui correspond au g (gamma) majuscule en grec), est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut entre autres les lois exponentielles, les lois de sommes de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle, ainsi que la loi du χ². Elle permet donc de modéliser une grande variété de phénomènes pour des grandeurs positives.

Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres $k$ et $\theta$ (strictement positifs), ce que l'on note aussi $X \, \sim \Gamma(k, \theta)$, si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

$f(x;k,\theta) = \frac{{x^{k - 1} e^{ - \frac{x}{\theta }} }}{{\Gamma \left( k \right) \theta ^k }}$

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme $\alpha = k$ et d'un paramètre d'intensité $\beta = 1/\theta$:

$f(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1} \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)} \ \mathrm{pour}\ x > 0 \,\!.$

Les deux paramétrages sont aussi répandus, selon la configuration.

Propriétés

Somme

Si chaque X_i suit la loi Γ(k_i, θ) pour i = 1, 2, ...,  N, et si les variables aléatoires X_i sont indépendantes, alors :

$\sum_{i=1}^N X_i \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^N k_i, \theta \right) \,\!$

Scaling

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(k,  tθ), où θ est le paramètre d'échelle.

ou

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(α,  (1/t)β) où β est le paramètre d'intensité (rate parameter).

Lien avec les autres distributions

Contraintes sur les paramètres

• Si $X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,$, alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ.
• Si $X \sim {\Gamma}(k=\nu/2, \theta=2)\,$, alors X est identique à une variable χ²(ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degré de liberté.
• Si $k$ est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang;
• Si $X^2 \sim {\Gamma}(3/2, 2a^2)\,$, alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulations

• Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi Gamma inverse, de paramètres k et $\theta^{-1}$.
• Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
• Si X_i sont distribuées selon des lois Γ(α_i, θ) respectivement, alors le vecteur (X₁ / S,  ...,  X_n / S), où S = X₁ + ... + X_n, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α₁,  ...,  α_n.
• Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne $\mu = (k-1)\theta$ et de variance $\sigma^2 = (k-1)\theta^2$.

Voir aussi

• Fonction Gamma d'Euler