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Courbe algébrique

 

Fractales

 

Homologie

 

Groupe de Lie

 

Enoncé des conjectures

Motivation et notations

Le langage algébrique moderne diffère quelque peu de celui des années pendant lesquels ont germés les conjectures de Weil. À ce titre, on distinguera deux énoncés, l'un historique : la conjecture de Riemann en caractéristique p, et l'autre moderne, les conjectures de Weil. On a besoin à ce titre d'introduire quelques objets.

Enoncé courbes

Corps de fonctions

Soit p un nombre premier et F un corps global de caractéristique p, c'est à dire une extension finie du corps K(t) où K=Fq est un corps fini. On forme sa fonction zêta

$$\zeta _{F}(s)=\sum _{P}{\frac {1}{1-|P|^{-s}}}=\sum _{A}|A|^{s}$$

où P est prit sur les premiers de F, |P| dénote le cardinal du corps résiduel associé à P et A est un diviseur entier de F. La notation |A| est définie par multiplicativité sur composantes premières de A.

Lemme — La fonction zêta associée à F converge absolument sur le demi-plan Re s>1. De plus, $\zeta _{F}$ s'étend méromorphiquement à C, avec deux pôles simples en 0 et 1.

On peut alors formuler l'analogue de l'hypothèse de Riemann en caractéristique p, abrégée HRp :

Conjecture (HRp) — Les zéros de la fonction $\zeta _{F}$ sont sur la droite de partie réelle ${\frac {1}{2}}$.

Courbes algébriques

On reformule en terme géométrique l'énoncé de la conjecture HRp. Soit Γ une courbe algébrique irréductible de genre g, définie sur K=Fq, alors F = K(Γ) le corps de fonctions de la courbe Γ est un corps global de caractéristique p. Les premiers de F correspondent aux points fermés de X. Soit n>0, on note N_X(qⁿ) le cardinal de l'ensemble des Fq^n-points de la courbe X. Alors la fonction

$$Z_{X}(q^{-s})=\exp \left(-\sum _{n\geq 1}{\frac {N_{X}(p^{n})}{n}}q^{-ns}\right)$$

coincide à la fonction zêta définie plus haut. Il s'avère qu'en la variable $t=q^{-s}$, $Z_{X}(t)$ est une fraction rationnelle.

Conjecture (deuxième formulation) — Les zéros de $Z_{X}(t)$ sont des nombres de Weil de poids i pour i < 2g

Approche des conjectures

Entre les années 1921 et 1940, les mathématiciens distinguent progressivement trois points d'intérêts relatifs aux fonctions zêtas sur les corps finis : leur rationalité, les équations fonctionnelles, et, l'hypothèse de Riemann associée. Ainsi, avant de parler des conjectures de Weil, il sera plus justement question de la conjecture de Riemann sur les corps finis (HRp) définit et recherché bien avant que Weil démontre le cas des courbes et formule l'énoncé géométrique moderne. RHp prend naissance dans les travaux d'Emil Artin en 1920, bien que ce dernier n'y attache pas un intérêt marqué. F. K. Schimdt généralise la théorie des fonctions zêta d'Artin dans sa thèse et seq. durant les années qui suivent, et démontre la rationalité de ces dernières dans le cas des courbes. Harold Davenport et Helmut Hasse découvre que leurs travaux sont englobés par cette conjecture, et Hasse dévouera une grande partie de son temps jusqu'en 1940 à essayer de démontrer RHp. En 1933, le cas des courbes elliptiques (courbes de genre 1) est résolu par Hasse, et donne plus tard une autre preuve plus conceptuelle sur une idée de Max Deuring.

Après de nombreux échanges dans les années 1930 impliquant le mathématicien français André Weil, Hasse, et Mordell, les besoins théoriques pour s'atteler au cas de courbes de genre supérieur sont fixés. Weil remarque que la théorie des variétés jacobiennes existe dans un autre langage : celui de la géométrie algébrique italienne.

Dans cette section, $p>2$ est un nombre premier et $q$ une puissance de $p$. $\mathbb {F} _{q}$ désigne l'unique corps fini de cardinal $q$, à isomorphisme près. Les notations ne sont pas celles utilisées historiquement.

Prélude

Thèse d'Artin (1921)

La théorie des idéaux, des unités des fonctions zêtas et de leurs équations fonctionnelles ainsi que l'existence du genre a été développée par Dedekind, autour des années 1860, dans le cas des corps de nombres (les extensions finies des rationnels) et de l'anneau $\mathbb {F} _{p}[t]$. Peu était alors connu sur les corps de fonctions en caractéristique positive : les extensions finies d'un corps $\mathbb {F} _{q}(t)$ de caractéristique $p\in \mathbb {P}$ — i.e. extensions de $\mathbb {F} _{q}$ finiment engendrée, de degré de transcendance 1. La thèse d'Emil Artin (1898-1962) soutenue en 1921 à Leipzig contient la première étude arithmétique complète des corps de fonctions quadratiques $F=\mathbb {F} _{q}\left(t,{\sqrt {D(t)}}\right)$avec $D(t)$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb {F} _{q}$ sans carré. Elle est structurée en deux parties :

Une « partie arithmétique » traite de la clôture intégrale $R=\mathbb {F} _{q}\left[t,{\sqrt {D(t)}}\right]$de $F$, et plus précisément établie :

1. L'existence une décomposition des idéaux en idéaux premiers : $R$ est un anneau de Dedekind ;
2. Le contrôle de la ramification d'un élément $P\in \mathbb {F} _{q}[t]$ dans $R$ selon la divisibilité de $D(t)$ par $P$.
3. Le théorème des unités, et le caractère fini du nombre de classe de $R$.
4. La loi de réciprocité quadratique : soient P et Q deux polynômes unitaires et irréductibles de $\mathbb {F} _{q}[t]$ distincts de degrés n et m. Avec le symbole de Legendre :
   $$\left({\frac {P}{Q}}\right)\left({\frac {Q}{P}}\right)=(-1)^{nm{\frac {p-1}{2}}}.$$

En particulier, le symbole de Jacobi $\chi _{D}(P)=\left({\frac {D}{P}}\right)$ est définit par multiplicativité et Artin montre la propriété suivante, utile pour la démonstration de la rationalité de la fonction zêta en deuxième partie :

Lemme — Soit $n>0$ le degré de $D(t)$. Alors la somme portant sur les polynômes unitaires de degré $m$ : $\sigma _{m}:=\sum _{\mathrm {deg} (M)=m}\chi _{D}(M)=0\quad \mathrm {si} \quad m\geq n.$

La « partie analytique » traite de la fonction zêta de l'anneau de Dedekind $R$. Notons que la fonction zêta $\zeta _{R}(s)$ diffère de $\zeta _{F}(s)$ introduite dans la section énoncé des premiers en l'infini : Artin définit une fonction zêta affine ; F. K. Schmidt quatre ans plus tard définira la fonction zêta birationnellement invariante. Il y a un ou deux premiers à l'infini selon que ${\sqrt {D}}$ est imaginaire ou réel :

$$\zeta _{F}(s)=\zeta _{R}(s)\cdot \prod _{\infty }{\frac {1}{1-|{\mathfrak {p}}|^{-s}}}.$$

Dans tous les cas, Artin démontre la rationalité de sa fonction zêta :

Proposition — Avec $t=q^{-s}$, on dispose d'un polynôme $L_{R}(t)$ de degré $n-1$ tel que

$$\zeta _{R}(t)={\frac {L_{R}(t)}{1-qt}}.$$

Explicitement, $L_{R}(t)=\sum _{i=0}^{n-1}\sigma _{i}t^{i}$ avec les notations du lemme précédent

La situation est donc assez différente du cas d'une extension quadratique de $\mathbb {Q}$. Artin en est conscient et note dans sa thèse

« qu'une preuve générale [de l'hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions quadratiques] fera face à des problèmes analogues à ceux rencontrés avec le cas de celle de Riemann $\zeta (s)$, bien qu'ici la situation est plus claire et limpide en ce qu'elle ne concerne que des polynômes. »

Dans sa thèse est ensuite démontré la localisation des zéros (non-triviaux) de $\zeta _{R}(s)$ (i.e. de $L_{R}(t)$ dans la région $0<\Re s<1$ ; la formule du nombre de classes, donnant le résidu de $\zeta _{R}(s)$ en $s\to 1$ en fonction du nombre de classe de l'anneau $R$ et l'équation fonctionnelle entre $\zeta _{R}(s)$ et $\zeta _{R}(1-s)$. Seulement Artin lui-même ne croit pas tellement en une hypothèse de Riemann pour ses fonctions zêtas, et sa thèse ne contient pas de formulation de conjecture explicite.

Lettres à Herglotz

Après publication de sa thèse, les points d'annulation de $\zeta _{R}(s)$ intéressent de plus en plus Artin. Celui écrit à son directeur de thèse et unique « maître académique » Gustav Herglotz en novembre 1921 à propos de deux idées importantes.

1. La première est que la conjecture de Riemann pour les corps de fonction quadratiques ne dépend pas du corps de base. En effet, en notant $F_{r}:=\mathbb {F} _{q^{r}}\left(t,{\sqrt {D(t)}}\right)=\mathbb {F} _{q}\left(t,{\sqrt {D(t)}}\right)\otimes _{\mathbb {F} _{q}}\mathbb {F} _{q^{r}}$ le changement de corps de base, Artin démontre la

Proposition 1 — Soit $R_{r}$ la clôture algébrique correspondant à l'extension $F_{r}$. On a la formule :

$$\zeta _{R_{r}}(s)=\prod _{k=0}^{r-1}\zeta _{R}\left(s+{\frac {2\pi ik}{r\log(q)}}\right).$$

En conséquence, l'hypothèse de Riemann est vérifiée pour r=1 dès qu'elle l'est pour un r supérieur. En particulier, on peut supposer que D(t) se scinde dans $\mathbb {F} _{q}[t]$. 2. Dans une seconde lettre, Artin démontre qu'il suffirait d'obtenir une majoration du coefficient $\sigma _{1}$ pour tout r. Plus précisément, on peut noter que $\sigma _{1}$ s'écrit, dans le cas d'un corps de base $\mathbb {F} _{q^{r}}$, comme $\sigma _{1}=N_{R_{r}}-q^{r}$ où $N_{R_{r}}$ est le nombre d'idéaux premiers de degré 1 dans l'anneau $R_{r}$. Le critère d'Artin s'énonce :

Proposition 2 (critère d'Artin) — S'il on dispose d'une constante $C$ ne dépendant que du degré de $D(t)$ telle que

$$|N_{R_{r}}-q^{r}|\geq C{\sqrt {q^{r}}}\qquad {\textrm {pourtout}}\quad r\geq 1,$$

Alors HRp est vraie pour les corps de fonctions quadratiques.

Il vérifie ce critère sur une quarantaine de cas. Ce type de bornes s'avèrera crucial dans la démonstration d'André Weil et plus tard de Pierre Deligne.

Artin abandonne subitement son travail sur HRp suite à un exposé donné la même année à Göttingen pendant lequel l'attitude « hautaine » et « mandarinale » de David Hilbert à l'égard du travail d'Artin décourage ce dernier.

Apport de Schmidt : fonctions zêta et théorème de Riemann-Roch (1925—1931)

Nous l'avons vu, Artin a transposé la théorie des corps de nombres et de leurs fonctions zêta associées dans le cadres des corps de fonctions quadratiques seulement. Durant les années 1925 à 1931, F. K. Schmidt généralise la construction d'Artin en tout degré.

D'une part, la thèse de Schmidt (1925) étend à tous corps de fonctions, non nécessairement quadratique, la « partie arithmétique » de la thèse d'Artin. D'autre part, dès l'année suivante est abordée la généralisation de la « partie analytique » (fonction zêta, formule du nombre de classes) et en particulier la définition projective de la fonction zêta attachée à un corps de fonction.

Définition (Schmidt, 1926) — Soit $F/K$ un corps de fonctions de caractéristique p. La fonction zêta associée à $F/K$ est

$$\zeta _{F}(s)=\sum _{P}{\frac {1}{1-|P|^{-s}}}=\sum _{A}|A|^{s}$$

où P est prit sur les premiers de F,

Elle est birationnellement équivalente, et vérifie la relation énoncée entre $\zeta _{F}(s)$ et $\zeta _{R}(s)$ en section précédente. Le « tour de force arithmétique », la démonstration de la rationalité de $\zeta _{F}(s)$ dans le cas des courbes, repose dans une utilisation ingénieuse du théorème de Riemann-Roch.

Pour tout premier P de F, le corps résiduel R/P est fini sur $F_{q}$. Par conséquent |P| est une puissance de q. Par conséquent, $\zeta _{F}(s)$ est une fonction de $q^{-s}$. On note $\zeta _{F}(s)=Z_{F}(q^{-s})$.

Théorème (Schmidt, 1926) — Soit $F/K$ de genre $g$, alors $Z_{F}(t)$ est une fonction rationnelle en $t$. Plus précisément, il existe un polynôme $L_{F}(t)$ à coefficients entiers de degré $2g$ tel que

$$Z_{F}(t)={\frac {L_{F}(t)}{(1-t)(1-qt)}}.$$

Démonstration

Soit C la courbe associée au corps de fonction $F/K$. Par définition, $Z_{F}(t)=\prod _{P}{\frac {1}{1-t^{\deg(P)}}}$ où P décrit les premiers de F. On obtient en développant le produit :

$$Z_{F}(t)=\sum _{n\geq 0}\mathrm {Card} (\mathrm {C_{n}} )t^{n},$$

où $C_{n}$ dénote l'ensemble des diviseurs effectifs de degré $n$ de F, où encore les combinaisons (formelles) de premiers dont la sommes des degrés vaut $n$. On admet dans la suite de la preuve qu'il existe un premier P_0 de degré 1. À tout diviseur effectif $A\in C_{n}$ correspond la classe $E:=[A-nP_{0}]$ dans la jacobienne de C de degré nul, de sorte que $A=(f)+E+nP_{0}$. $f\in F$ est défini à un facteur de $F_{q}$ près, on en déduit le cardinal des éléments de $C_{n}$ de classe $E$:

$$\mathrm {Card} (C_{n})={\frac {q^{h(E+nP_{0})}}{q-1}},$$

où $h(E+nP_{0})=\dim {\mathcal {L}}(E+nP_{0})$. D'après le théorème de Riemann-Roch, si $n>2g-2$, alors $h(E+nP_{0})=n+1-g.$ Ainsi, en sommant sur les classes $E$ de degré 0, on obtient que $(1-t)(1-qt)Z_{F}(t)$ est un polynôme de degré $2g$.

Au terme d'une analyse plus précise des coefficients en jeu, on peut écrire $L_{F}(t)=1+(N-q-1)t+\ldots +q^{g}t^{2g}$ (rappel : N est le nombre de premiers de degré 1 sur F). Le polynôme réciproque $L_{F}^{*}(t)=t^{2g}L_{F}(t^{-1})$ permet de ré-exprimer l'hypothèse de Riemann sur F comme suit :

HRp équivaut à la localisation des $2g$ zéros de $L_{F}^{*}(t)$ sur le cercle de rayon ${|}t{|}={\sqrt {q}}$.

Travaux de Davenport et Hasse : le cas des courbes elliptiques (1931—1936)

Arrivée de Davenport

Alors étudiant de Louis Mordell (1888-1972) en Angleterre, le jeune Harold Davenport (1907-1969) rejoint Hasse à Marburg en 1931. Davenport s'intéressait alors à des sommes exponentielles de la forme $\sum _{x=0}^{p-1}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)$ analogues aux sommes de Gauss, avec $f(x)$ un polynôme unitaire de degré 4 : il obtient en particulier la borne non triviale ${\mathcal {O}}(p^{\frac {3}{4}})$. Or la quantité $1+\left({\frac {f(x)}{p}}\right)$ compte le nombre de solution de l'équation $y^{2}\equiv f(x){\pmod {p}}$ de sorte que

$$\sum _{x=0}^{p-1}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=N(y^{2}=f(x))-p.$$

Après une rencontre avec Artin en novembre 1932, Hasse effectue la connexion ces calculs avec le critère d'Artin (cf. section précédente), qui stipule que l'exposant $\gamma ={\frac {3}{4}}$ peut en fait être réduit à ${\frac {1}{2}}$ si HRp est vérifiée. Si l'élève essaye de son mieux de « réduire les exposants », le maître tente de déterminé une structure algébrique sous-jacente.

De fait, la correspondance entre Hasse et Davenport durant les années 1932-1934 voit le premier résultat substantielle en direction de HRp : sa résolution pour toutes courbes elliptiques sur un corps fini. Ils traitent en outre le cas des corps de Fermat généralisé d'équation $ax^{m}+by^{n}+c=0$ et celui des corps de fonctions dit de Davenport-Hasse $\mathbb {F} _{q}(x,y)/(y^{p}-y-x^{m})$, correspondant à l'équation $y^{p}-y=x^{m}$.

Corps de fonction elliptiques

Rappelons ce que l'on entend par courbe elliptique et corps de fonction elliptique.

Définition — Une courbe elliptique sur le corps $\mathbb {F} _{q}$ est une courbe algébrique complète, absolument irréductible, lisse de genre 1 sur $\mathbb {F} _{q}$.

Le corps de fonction correspondant à une courbe elliptique se trouve être donnée par une équation de la forme $y^{2}=x^{3}+ax+b$, c'est-à-dire$F=\mathbb {F} _{q}(x,y)/(y^{2}-(x^{3}+ax+b))$. Hasse parvient à démontrer le théorème suivant de deux manières, dont la première ne sera pas publiée ayant déjà la seconde en tête. Cette dernière donne la direction vers une démonstration générale des conjectures de Weil à toute courbe (cf. sections suivantes)

On donne une idée de la première preuve donnée par Hasse reposant sur la multiplication complexe. Le polynôme de Schmidt est de degré $2\cdot 1$, et son réciproque $L^{*}(t)=q+(N-q-1)t+t^{2}$. Soient $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ ses deux racines (complexes).

Si l'hypothèse de Riemann est vérifiée alors $|N-q-1|\leq 2{\sqrt {q}}$ c'est à dire que le discriminant de $L^{*}(t)$ est négatif : $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ sont dans un corps quadratique imaginaire $\Omega :=\mathbb {Q} (\omega _{1})$. Réciproquement, s'il on dispose d'un tel corps sur $\mathbb {Q}$, et d'un élément $\pi$ tel que $N_{\Omega /\mathbb {Q} }(\pi )=q$ et $\mathrm {Tr} _{\Omega /\mathbb {Q} }(\pi )=-(N-q-1)$, alors HRp est vérifiée. Hasse détermine un tel élément, correspondant au morphisme de Frobenius de la courbe, et donc le :

Théorème (Hasse, 1933) — L'hypothèse de Riemann en caractéristique $p$ est vérifiée pour les courbes elliptiques.

La seconde preuve, présentée en 1936, repose sur une étude plus algébrique de l'anneau des endomorphismes de E.

Le projet de Hasse : genre supérieur à un (1933—1940)

Le point décisif dans la démarche de Hasse a été l'étude de l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique. Or une courbe de genre g>1 n'a plus la propriété d'être abélienne (c'est-à-dire munie d'une structure de groupe). Lors de rencontre avec Artin en 1932 déjà mentionnée, Hasse ne croyait pas à HRp en tout genre. Quelques temps après la (première) preuve pour les courbes elliptiques, il écrit à Mordell (6 mars 1933) que

« Bien sûr le cas général $f(x,y)$ peut être traité de la même manière, avec 'seulement' une 'petite' généralisation analogue à Siegel de la théorie des fonctions elliptiques à celle des fonctions abéliennes ! Faites-le ! »

Hasse se réfère au travail de Siegel sur l'approximation diophantienne étudié par Mordell un an auparavant ; il a aussi en tête les méthodes utilisées par Weil dans la démonstration de son théorème avec Mordell.

Idée de Deuring

En 1936, Max Deuring (1907-1984) annonce à Hasse qu'il a obtenu une construction généralisant l'anneau des endomorphismes à toute courbe. Plus précisément, étant donné deux corps de fonctions $F/\mathbb {F} _{q}$ et $E/\mathbb {F} _{q}$ de genre g, Deuring construit le groupe des correspondances $M(E,F)$, quotient des morphismes $J(E)\to J(F)$ entre les jacobiennes de $E$ et $F$. Les correspondances proviennent des diviseurs du changement de base ${\mathcal {F}}:=EF$ sur $E$.

Prenant F et E identiques, $M(E,F)$ est alors muni d'une structure d'anneau pour la composition (à condition de montrer que le produit de deux correspondances reste une correspondance).

Informé que la théorie existe en tout genre, Hasse la répand autour de lui et notamment au congrès international des mathématiciens de 1936 (Oslo). Au même moment, Hasse échange avec Weil par correspondance (épistolaire)— Weil n'a pas pu se rendre à Oslo. Ce dernier le dirige vers la géométrie algébrique italienne, en particulier vers le Trattato del geometria algebrica de Francesco Severi. Au début du XXI^e siècle la géométrie algébrique (sur les complexes) a connue un développement soutenu sous l'impulsion de Castelnuovo, Enriques, Rosati, et Severi mais faute de fondements solides son influence s'estompa dans les années 1930. La théorie italienne possède un langage propre et relativement fermée aux mathématiques des pays voisins, ce qui rendait son accès difficile aux algébristes comme Hasse.

Années troubles

Cependant les années postérieures à 1934 sont marquées par le nazisme en Allemagne qui a grandement influé sur le champ scientifique allemand. De nombreux troubles politiques altérèrent l'avancé vers une démonstration de HRp. Dès 1935 Hasse tente d'attribuer une place au jeune Deuring à Göttingen pour son habilitation, mais une lourde opposition de collègues nazis, comme Oswald Teichmüller ou Erhard Tornier, ainsi qu'administrative l'en décourage (il n'aura une place à Göttingen qu'après la guerre). Hasse lui même n'est pas accepté à l'institut de mathématiques de Göttingen pour son manque de proximité à l'idéologie nazie. Le 19 décembre 1935, Hasse écrit explicitement à Siegel :

« Malheureusement, je ne suis encore qu'aux balbutiements concernant les corps de fonction de genre $g>1$. J'ai dû arrêter mon travail scientifique depuis mai 1934 et ce jusqu'à octobre dernier. »

Groupe de travail sur Severi

Hasse réalise qu'étudier Severi et son Trattato pourrait être utile pour le cadre géométrique d'une preuve de HRp. En 1937, Un groupe de travail est organisé comprenant entre autre des exposés de van der Waerden, et Harald Guppert, qui connaissait bien l'italien.

Il s'avère que le groupe de travail n'a pas atteint son but, à savoir de généraliser algébriquement la (seconde) démonstration de Hasse du cas elliptique.

Démonstration de Weil

- Années creuses

- Lettre de Bonne Nouvelle

- deux notes aux Comptes Rendus

Vers une généralisation

- cohomologie de Weil

• Background and history
• 2Statement of the Weil conjectures
• 3Examples
  • 3.1The projective line
  • 3.2Projective space
  • 3.3Elliptic curves
  • 3.4Hyperelliptic curves
• 4Weil cohomology
• 5Grothendieck's proofs of three of the four conjectures
• 6Deligne's first proof of the Riemann hypothesis conjecture
  • 6.1Use of Lefschetz pencils
  • 6.2The key estimate
  • 6.3Completion of the proof
• 7Deligne's second proof
• 8Applications
• 9References
• 10External links
• 11References

• 1Arrière-plan et histoire
• 2Énoncé des conjectures de Weil
• 3Exemples
  • 3.1Hypersurfaces diagonales
  • 3.2La droite projective
  • 3.3L'espace projectif
  • 3.4Les courbes elliptiques
• 4La cohomologie de Weil
• 5Références