Courbe de Hilbert

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Les 8 premières étapes de la courbe de Hilbert

La courbe de Hilbert est une courbe fractale continue remplissant le plan. Elle a été décrite pour la première fois par le mathématicien allemand David Hilbert en 1891[1].

Comme elle couvre un plan, sa dimension de Hausdorff (à la limite  n \rightarrow \infty ) est  2 .
La longueur euclidienne de  H_n est  2^n - {1 \over 2^n} , elle croit exponentiellement avec n.

Pour les bases de données multi-dimensionnelles, la courbe de Hilbert a été proposée à la place de la Courbe de Lebesgue parce qu'elle a un comportement préservant mieux la localité.

Démonstration de la surjection du plan[modifier | modifier le code]

On peut définir la fonction limite simple  f : [0;1] \longrightarrow [0;1]^2 des courbes  f_n : [0;1] \longrightarrow [0;1]^2 définies précédemment[Où ?].

On montre facilement que cette fonction est en fait limite uniforme des fonctions  f_n . Cela tient essentiellement à la localité des courbes de Hilbert.

 f , en tant que limite uniforme de fonctions continues, est continue.

Comme toute fonction continue, l'image du compact  [0;1] par  f est un compact. Notamment, c'est un fermé. Par ailleurs,  f([0;1]) est dense dans  [0;1]^2 . C'est donc [0;1]^2 tout entier.

Representation en L-Système[modifier | modifier le code]

Courbe de Hilbert en trois dimensions.

La courbe de Hilbert peut être construite par un L-système.

Alphabet : L, R
Constantes : F, +, −
Axiome : L
Règles:
L → +RF−LFL−FR+
R → −LF+RFR+FL−

Ici, F signifie « avance », + signifie « à gauche 90° », et - signifie « à droite 90° ».

Butz[2] propose un algorithme pour calculer la courbe de Hilbert en plusieurs dimensions.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) D. Hilbert, « Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück », Math. Ann., vol. 38,‎ 1891, p. 459-460 (lire en ligne)
  2. (en) Arthur Butz, « Alternative algorithm for Hilbert’s space filling curve », IEEE Trans. On Computers, 20, p.424-442, avril 1971.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]