Théorème de Faltings

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En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit l'équation définie de la manière suivante :

P(x,y) = 0\,

avec P un polynôme à coefficients rationnels. Le problème est de trouver le nombre de solutions X de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solutions dépend du genre de la courbe C associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir 2 morceaux distincts).

  • Si le genre vaut 0 (cas des courbes unicursales, par exemple une droite), alors :
    • soit X = ∞,
    • soit X = 0 ;
  • si le genre vaut 1, alors :
  • si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

Application[modifier | modifier le code]

Soit l'équation de Fermat :

x^n+y^n=z^n

dont on cherche les solutions entières. Si (a,b,c) est une solution avec c non nul, alors (a/c, b/c) est une solution à coordonnées rationnelles de l'équation

u^n+v^n=1.

Elle correspond à une courbe de genre \frac{(n-1)(n-2)}{2}. Ainsi, pour n supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le dernier théorème de Fermat, alternative à celle suivie par Andrew Wiles, n'a donc pas encore abouti ; au demeurant, elle ne permettrait (en théorie) qu'une démonstration constructive pour chaque valeur de n donnée, mais non en général.