Théorie de Hodge

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La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.

Essentiellement, la théorie permet d'associer, à certaines variétés, une structure de Hodge (en) qui se révèle un outil très puissant d'analyse des propriétés de la variété d'origine, tout en étant d'une manipulation éventuellement plus aisée car relevant de l'algèbre linéaire.

La théorie se trouve au cœur de nombreux problèmes mathématiques et apparaît notamment en mathématiques appliquées, en physique mathématique et en physique théorique, dans les théories de jauges en particulier, par exemple l'électromagnétisme.

Histoire[modifier | modifier le code]

La théorie est posée par Hodge autout de 1941 avec la publication de Harmonic integrals, où ses résultats s'appuient d'abord sur l'analyse. Hermann Weyl, Kunihiko Kodaira, Georges de Rham et André Weil s'approprient et poursuivent l'élaboration de cette approche. Puis, au début des années 1970, Phillip Griffiths (de) et Pierre Deligne lui donnent son aspect moderne, beaucoup plus algébrique.

Théorème de Hodge[modifier | modifier le code]

L'origine de la théorie de Hodge se trouve dans l'application de la cohomologie de De Rham aux équations aux dérivées partielles.

La conséquence clef se généralise, le théorème de Hodge s'applique : si M est une variété kählerienne projective compacte, alors

H^r(M, \mathbb C) = \bigoplus_{p+q=r} H^{p, q}(M)

(on peut considérer ici la cohomologie de De Rham ou de Dolbeault) avec

H^{*}(M, \mathbb C) = H^{*}(M, \mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb C

On retrouve les nombres de Betti

b_i(M) = \mathrm{dim}_{\mathbb C} H^i(M, \mathbb C)

qui peuvent s'écrire en fonction des nombres de Hodge

b_i(X) = \sum_{p+q=i}h^{p,q}(X)
h^{p,q}(X) = \mathrm{dim}_{\mathbb C} H^{p,q}(X)

Diamant de Hodge[modifier | modifier le code]

On représente souvent les nombres de Hodge d'une variété kählerienne compacte M sous la forme suivante, appelée diamant de Hodge :


\begin{matrix}
& & & h^{0, 0}& & \\
& & h^{1, 0}& &h^{0, 1} & \\
& & & &  \ddots & \\
&h^{n, 0} & & \cdots & & h^{0,n} \\
&  &\ddots & & & \\
& & h^{n, n-1}& &h^{n-1, n} & \\
& & & h^{n, n}& & 
\end{matrix}

On retrouve les nombres de Betti en sommant chaque ligne.

Théorème de décomposition de Hodge pour les formes différentielles[modifier | modifier le code]

Si M est une n-variété différentiable compact et orientable, et si p est un entier tel que np, alors le théorème de décomposition de Hodge stipule que toute p-forme peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une forme exacte (ou « transversale »), d'une forme coexacte (ou « longitudinale ») et d'une forme harmonique :


\begin{matrix}
\omega & = & \mathrm d \alpha & + & \delta \beta & + & \gamma \\
       &   & \text{exacte} &  & \text{coexacte}&  & \text{harmonique}
\end{matrix}

Si la p-forme \omega est fermée, on a la décomposition courte de Hodge :

\omega = \mathrm d\alpha + \gamma

En général la composante harmonique dépend de la topologie du domaine considéré.

Références[modifier | modifier le code]