Corps de nombres
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En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie K du corps ℚ des nombres rationnels.
En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension.
C'est aussi une extension séparable car ℚ est de caractéristique nulle donc parfait.
Tout sous-corps de ℂ engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Réciproquement, tout corps de nombres K est de cette forme, et peut même être engendré par un seul nombre algébrique. En effet, par le théorème de l'élément primitif (ou théorème de l'extension simple), K peut s'écrire sous la forme ℚ(α) où α est un élément de K algébrique sur ℚ. Pour plonger K comme un sous-corps de ℂ, il suffit alors d'envoyer α sur un nombre complexe ayant même polynôme minimal. Un tel élément existe, car tout polynôme à coefficients rationnels a une racine dans ℂ (puisque ℂ est algébriquement clos).
En arithmétique, les corps de nombres ont des propriétés très semblables aux corps de fonctions sur des courbes algébriques sur des corps finis.
Attention : le corps des nombres algébriques n’est pas un corps de nombres. En effet cette extension algébrique de ℚ n'est pas une extension finie.
