Fractale de Newton

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Fractale de Newton z^3-1 et les 3 bassins d'attraction des racines du polynôme (en couleur)

La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme \textstyle{p(z), z\in\mathbb{C}}.

Définition[modifier | modifier le code]

La fractale de Newton est l’ensemble de Julia d’une fonction méromorphe z\mapsto z-\tfrac{p(z)}{p'(z)} qui est donnée par la méthode de Newton. Lorsqu’il n'y a pas de cycles attractifs, il divise le plan complexe en régions G_k, chacune d’elles associée à chaque racine de ce polynôme.

La fractale de Newton classique est ainsi associée au polynôme z^3-1 et divise le plan en trois régions associées à ses trois racines : \scriptstyle{1, -1/2+\frac{\sqrt{3}}{2}i} et \scriptstyle{-1/2-\frac{\sqrt{3}}{2}i}.

Construction[modifier | modifier le code]

De nombreux points du plan complexe sont associés à chaque racine de la manière suivante:

Un point z_0 du plan complexe est choisi comme point de départ. On applique la méthode itérative de Newton :

z_{n+1}=z_n-\frac{p(z_n)}{p'(z_n)}.

En particulier, la fractale de Newton classique s'obtient en itérant :

z_{n+1}=z_n-\frac{z_n^3-1}{3z_n^2}=\frac{2z_n^3+1}{3z_n^2}.

Cette règle mène à une suite de points z_1, z_2, etc.... Si la suite converge vers la racine R_k du polynôme, alors z_0 appartient à la région G_k. Cette région est aussi appelée "bassin d'attraction de la racine R_k".

Toutefois, pour tout polynôme de degré égal au moins à 2, il existe des points pour lesquels la suite de newton ne converge pas, c’est le cas de la frontière des bassins d’attraction de chaque racine.

Structure fractale[modifier | modifier le code]

La fractale de Newton présente, à l’instar de toute fractale, une apparence complexe, malgré une description simple, et des auto-similarités visibles à toutes échelles (voir zoom successifs ci-dessous).

Elle suggère également que la méthode de Newton peut être très sensible aux conditions initiales et que deux points initiaux infiniment proches peuvent converger vers des racines différentes.

Elle montre, enfin, que chaque point de la fractale de Newton est un point-frontière multiple, séparant chacun des n bassins d'attraction. Si deux points infiniment proches convergent vers deux racines distinctes, alors il existe un troisième point, infiniment proche également, qui converge vers la troisième racine. Voir l'article sur les lacs de Wada.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Une généralisation de l’itération de Newton est :

z_{n+1}=z_n- a \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}

a est un nombre complexe[1]. Le cas particulier a=1 correspond à la fractale de Newton classique.. Les points fixes de cette transformation sont stables si a appartient au disque centré en 1 de rayon 1. Hors de ce disque les points fixes sont localement instables, toutefois la transformation présente une structure fractale au sens de l’ ensemble de Julia. Si p est un polynôme de degré n, alors la suite z_n est bornée tant que a reste dans le disque de rayon n centré en n.

Autres méthodes[modifier | modifier le code]

En analyse numérique, nombre de méthodes de résolution d'équation existent.

Les fractales associées partagent des caractéristiques communes avec la fractale de Newton : la frontière triple, des auto-similarités à toutes les échelles, et trois bassins d'attraction non connexes (en couleur). Selon les conditions initiales choisies, la méthode de la sécante crée des zones de non-convergence.

Voir les exemples ci-dessous, appliqués à la fonction polynomiale z^3-1,

Méthode Formule Convergence Illustration Remarques
Méthode de la sécante \scriptstyle{z_{n+1} = z_n - \frac{z_n-z_{n-1}}{p(z_n)-p(z_{n-1})} p(z_n). } 1,618 Secant fractal.jpg La méthode de la sécante permet de s'affranchir du calcul de la dérivée en approximant la dérivée p'(z_n) par \textstyle{\frac{p(z_n)-p(z_{n-1})}{z_n-z_{n-1}}}.

Dans l'illustration on a posé z_{-1} proche de z_0.

Méthode de Newton \scriptstyle{z_{n+1} = z_n - \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}} quadratique Newton method fractal.jpg
Méthode de Householder \scriptstyle{z_{n+1} = z_n - \frac{p(z_n)}{p'(z_n)}\times (1+h_n)} avec \scriptstyle{h_n = \frac{p(z_n) p''(z_n)}{2 p'(z_n)^2}} cubique Householder method fractal.jpg Les méthodes de Householder généralisent les méthodes de Newton et de Halley.
Méthode de Halley \scriptstyle{z_{n+1} = z_n - \frac {2 p(z_n) z'(z_n)} {2 {[z'(z_n)]}^2 - p(z_n) p''(z_n)}} cubique Halley method fractal.jpg
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Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Références[modifier | modifier le code]

  1. Simon Tatham, « Fractals derived from Newton-Raphson »