Seizième problème de Hilbert

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le seizième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert.

Il comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet. La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Mise à part l'hypothèse de Riemann (huitième problème de Hilbert), il semble que ce soit le problème le plus insaisissable des problèmes de Hilbert. Il figure sur la liste des problèmes de Smale sous le numéro 13.

Il a été prouvé par Jean Ecalle (de) et Yulij Ilyashenko (1991-1992) que le nombre des cycles limites d'une équation polynomiale donnée est fini (résultat que Henri Dulac pensait avoir prouvé en 1923, avant qu'Ilyashenko ne détecte une erreur dans sa preuve en 1981). Il n'est toujours pas connu (2008) si le nombre maximal H(N) des cycles limites d'une équation polynomiale de degré donné N > 1 est fini.

Sources[modifier | modifier le code]

  • (en) J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992
  • (en) Yu. Ilyashenko, Finiteness Theorems for Limit Cycles, AMS, Providence, RI, 1991
  • (en) Yu. Ilyashenko, « Centennial History of Hilbert's 16th Problem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 39, no  3, 2002, p. 301-354 [lire en ligne]
  • Dossier « Les grands problèmes mathématiques », Pour la Science, n° 74, janvier-mars 2012, p. 82-86