K-théorie

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En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la K-théorie topologique (en) sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique.

Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc.

Histoire[modifier | modifier le code]

C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Il a introduit la complétion du monoïde de faisceaux de groupes abéliens avec la somme directe en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe K(X) d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les classes d'isomorphisme de fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004.

Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à signaler un problème ouvert[1] qu'on baptisa malgré lui la « conjecture de Serre » : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs Kn, en utilisant de la théorie homotopique.

Périodicité de Bott[modifier | modifier le code]

  • K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2), et K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2; H S^2=\mathbb CP^1.
  • \tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)
  • \Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z.

Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique[modifier | modifier le code]

A K_0(A) K_1(A)
\mathbb K \Z 0
\mathbb B 0 0
\mathbb B/\mathbb K 0 \Z
C_0(\R^{2n}) \Z 0
C_0(\R^{2n+1}) 0 \Z
C(\mathbb T^n) \Z^{(2^{n-1})} \Z^{(2^{n-1})}
A_\theta \Z^2 \Z^2
C_r^*(F_n) \Z \Z^n
\mathcal T \Z 0
\mathcal O_n \Z / (n-1) \Z 0
\mathcal O_\infty \Z 0

Notons que le tore non commutatif et le tore (commutatif) de dimension 2 ont la même K-théorie. La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs de dimensions supérieures ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.

La K-théorie d'une algèbre de Banach A (unitaire ou pas) et de son unitarisée A1 sont reliées : K0(A1) = K0(A) ⊕ ℤ, K1(A1) = K1(A).

Formule de Künneth pour la K-théorie topologique[modifier | modifier le code]

Soient A et B deux C*-algèbres avec A dans la classe du[Quoi ?] théorème des coefficients universels (en). Il existe alors une suite exacte courte[2] :

0 \rightarrow K_*(A) \otimes K_*(B) \rightarrow K_*(A \otimes B) \rightarrow{\rm Tor}^{\Z}_1( K_*(A), K_*(B)) \rightarrow 0,

où la première application non triviale est de degré 0, alors que la seconde est de degré 1. Dans le cas particulier ou K_*(A) ou K_*(B) est sans torsion, alors la première application est en fait un isomorphisme.

Fondateurs[modifier | modifier le code]

K-théorie et physique[modifier | modifier le code]

En théorie des cordes, la K-théorie a fourni une bonne description des charges permises de D-branes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « On ignore s'il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres. » « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, 1955
  2. Bruce Blackadar (de), Operator algebras (ISBN 978-3-540-28486-4, lire en ligne), p. 417, Theorem V.1.5.10.
  • (en) N. E. Wegge-Olsen (en), K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993
  • (en) M. Pimsner et D.-V. Voiculescu, « K-groups of reduced crossed products by free groups », dans J. Operator Theory, vol. 8, n° 1, 1982, p. 131–156

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]