G2 (mathématiques)

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Système de racines G2

En mathématiques, G2 est le plus petit des groupes de Lie complexes de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée \mathfrak{g}_2. G2 est de rang 2 et de dimension 14. Sa forme compacte est simplement connexe, et sa forme déployée a un groupe fondamental d'ordre 2. Son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 7.

La forme compacte de G2 peut être décrite comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre octonionique.

Algèbre[modifier | modifier le code]

Diagramme de Dynkin[modifier | modifier le code]

Dynkin diagram G2.PNG

Racines de G2[modifier | modifier le code]

(1,−1,0),(−1,1,0)
(1,0,−1),(−1,0,1)
(0,1,−1),(0,−1,1)
(2,−1,−1),(−2,1,1)
(1,−2,1),(−1,2,−1)
(1,1,-2),(−1,−1,2)

Racines simples :

(0,1,−1), (1,−2,1)

Matrice de Cartan[modifier | modifier le code]


\begin{pmatrix}
2&-3\\
-1&2
\end{pmatrix}