Dualité de Hodge

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En algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge.

En géométrie différentielle, l'opérateur de Hodge peut être étendu aux fibrés vectoriels riemanniens orientés. Appliqué à l'espace cotangent des variétés riemanniennes orientées, l'opérateur de Hodge permet de définir une norme L2 sur l'espace des formes différentielles. La codifférentielle se définit alors comme l'adjoint forme de la dérivée extérieure. Cette codifférentielle intervient notamment dans la définition des formes harmoniques.

Définition[modifier | modifier le code]

Opérateur de Hodge sur les k-vecteurs[modifier | modifier le code]

Soit E espace vectoriel euclidien orienté de dimension finie n. Les sous-espaces \wedge^kE et \wedge^{n-k}E des k-vecteurs et des n-k vecteurs sont de même dimension, à savoir Cnk. Il est possible de définir un isomorphisme linéaire noté * entre ces deux espaces et appelé opérateur de Hodge.

Pour toute base orthonormale directe e_1,e_2,\ldots,e_n,

*(e_1\wedge e_2\wedge \ldots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_n.

Il s'étend ensuite par linéarité à toute l'algèbre extérieure. Cette définition est peu satisfaisante puisqu'elle fait intervenir des bases et pose un problème de compatibilité. Elle a néanmoins l'avantage de bien décrire le comportement de l'opérateur de Hodge sous forme de complétion de base orthonormale directe.

Une définition plus convenable consiste à faire intervenir la forme volume ω de l'espace vectoriel euclidien orienté E. Le dual de Hodge s'obtient en effectuant la contraction

\;*\;X = \langle\omega,X\rangle

Dualité[modifier | modifier le code]

Pour un k-vecteur \eta \in \Lambda^k (E) de l'espace E de dimension n, appliquer deux fois l'opérateur de Hodge donne l'identité, au signe près

**\eta=(-1)^{k(n-k)}\;\eta

Applications[modifier | modifier le code]

Produit scalaire sur l'algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

L'opérateur de Hodge permet de définir un produit scalaire sur l'algèbre extérieure par la relation

\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta| \eta \rangle\;*1=\langle\zeta| \eta \rangle\;\overline{\omega}

Pour ce produit scalaire, les k-vecteurs obtenus par produit extérieur à partir de la base orthnormale de E constituent une base orthonormale de ΛE.

Codifférentielle[modifier | modifier le code]

Extension aux espaces quadratiques[modifier | modifier le code]

Il est possible de définir un opérateur de Hodge pour un espace quadratique. La formule de dualité est alors modifiée pour prendre en compte la signature de la forme quadratique sur E. Précisément, on multiplie le second membre par le discriminant de cette forme quadratique. Ainsi si n=4 et si la signature est (+,−,−,−) ou (−,+,+,+), l'exposant est k(n-k)+1.

Références[modifier | modifier le code]

Ouvrages[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]