Courbe du dragon

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Courbe du dragon

La courbe du dragon (ou « fractale du dragon » ou « courbe de Heighway » ou « dragon de Heighway ») a été pour la première fois étudiée par les physiciens de la NASA John Heighway, Bruce Banks, et William Harter. Elle a été décrite par Martin Gardner dans sa chronique de jeux mathématiques du Scientific American en 1967. Nombre de ses propriétés ont été publiées par Chandler Davis (en) et Donald Knuth. Elle est apparue dans le roman Jurassic Park de Michael Crichton.

Construction[modifier | modifier le code]

Dragon curve animation.gif

L-système[modifier | modifier le code]

Construction récursive de la courbe

La courbe peut être construite par L-System avec :

  • angle 90°
  • graine FX
  • règles :
    • X \mapsto X+YF+
    • Y \mapsto -FX-Y

Ce qui se traduit simplement comme suit : partir d'un segment de base ; puis en suivant la courbe, remplacer chaque segment par deux segments à angle droit en effectuant une rotation de 45° alternativement à droite puis à gauche :

On visualise ici les 5 premières itérations et la neuvième.

IFS[modifier | modifier le code]

La courbe du dragon est également l'ensemble limite de l'IFS suivant, dans le plan complexe :

f_1(z)=\frac{(1+i)z}2
f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}2

(avec comme ensemble de points initial S0 = {0, 1})

ou encore, en coordonnées cartésiennes (représentation plus souvent utilisée dans des logiciels tels qu'Apophysis (en)) :

f_1(x,y)=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ\\\sin45^\circ&\cos45^\circ\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}
f_2(x,y)=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\cos135^\circ&-\sin135^\circ\\\sin135^\circ&\cos135^\circ\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.

Pliage[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Suite de pliage de papier.

Suivre une itération de la courbe du dragon fait apparaître une suite de rotations à 90° vers la droite ou vers la gauche. Pour les premières itérations, la séquence de « droite » (D) et « gauche » (G) est la suivante :

1re itération : D
2e itération : D D G
3e itération : D D G D D G G
4e itération : D D G D D G G D D D G G D G G

Empiriquement, on peut observer la règle de construction suivante : on peut construire l'itération suivante en prenant l'itération en cours, ajoutant un D, puis en ajoutant l'itération courante inversée et en intervertissant D et G.

Dragon curve paper strip.png

Ce schéma suggère la méthode suivante de modélisation par pliage : prenez une bande de papier et pliez-la en son milieu par la droite. Pliez-la à nouveau par la droite et répétez l'opération autant de fois que possible. Dépliez la bande en conservant les pliures à 90°. La courbe du dragon apparaît.

Ce motif donne également une méthode pour déterminer la direction de la nième rotation dans la séquence. Écrivons « n » sous la forme k2mk est un nombre impair. La direction de la nième rotation est déterminée par k modulo 4 (reste de la division de k par 4). Si le reste vaut 1 alors la nième rotation est « droite », sinon « gauche ».

Propriétés de la courbe du dragon[modifier | modifier le code]

Dimensions[modifier | modifier le code]

  • En dépit de son aspect irrégulier, la courbe du dragon s’inscrit dans des proportions simples. Ces résultats se déduisent de son mode de construction.
Dimensions fractale dragon.gif
  • Sa surface vaut ½ (considérant que le segment de base a pour longueur 1). Ce résultat se déduit de ses propriétés de pavage.
  • Sa frontière a une longueur infinie.
  • La courbe ne se traverse jamais
  • La courbe du dragon révèle nombre d’auto-similarités. La plus visible est la répétition du même motif après rotation de 45° et réduction de 2.
Auto-similarity dragon curve.gif
  • Sa dimension de Hausdorff peut être calculée : à chaque itération le nombre de segments double avec un facteur de réduction de \scriptstyle{\sqrt{2}}. La dimension de Hausdorff vaut donc \scriptstyle{\frac {\ln 2} {\ln \sqrt{2}} = 2}. Cette courbe couvre donc le plan.
  • Sa frontière est une fractale dont la dimension de Hausdorff vaut 1,5238 (calculée par Chang et Zhang[1].)

Pavage[modifier | modifier le code]

  • La courbe du dragon peut paver le plan de multiples manières (voir encadré).

Variantes de la courbe du dragon[modifier | modifier le code]

Twindragon[modifier | modifier le code]

Twindragon construite à partir de 2 dragons
Frontière du Twindragon

La twindragon (mot à mot « dragon jumeau », connue également sous le nom de dragon de Davis-Knuth) est une variante de la courbe du dragon qui peut être construite en plaçant deux dragons dos à dos. Cette courbe est la limite de l’IFS suivante :

f_1(z)=\frac{(1+i)z}2
f_2(z)=\frac{(1+i)z+1-i}2.

Terdragon[modifier | modifier le code]

Courbe Terdragon

La terdragon peut être construite à partir du L-system suivant :

  • angle 120°
  • graine F
  • règle : F \mapsto F+F-F

C’est également la limite de l’IFS suivant :

f_1(z)=\lambda z~
f_2(z)=\frac i{\sqrt3}z + \lambda
f_3(z)=\lambda z + \lambda^*~
\mathrm{o\grave u~}\lambda=\frac12-\frac i{2\sqrt3}
\mbox{ et }\lambda^*=\frac12+\frac i{2\sqrt3}.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dragon curve » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) « On the Fractal Structure of the Boundary of Dragon Curve ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]