F4 (mathématiques)

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24 Cell Polytopeb.svg

En mathématiques, F4 est un groupe de Lie exceptionnel de type complexe. Son algèbre de Lie est notée \mathfrak{f}_4. F4 est de rang 4 et de dimension 52. Sa forme compacte est simplement connexe et son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 26.

La forme compacte réelle de F4 est le groupe d'isométries d'une variété riemannienne de dimension 16, connu également sous le nom de plan projectif octonionique, OP2, ou plan de Cayley (en). Ceci peut être vu en utilisant la construction de carré magique, étudiée en détail par Hans Freudenthal et Jacques Tits.

Il existe trois formes réelles de ce groupe, une compacte, une déployée, et une troisième.

Algèbre[modifier | modifier le code]

Diagramme de Dynkin[modifier | modifier le code]

Dynkin diagram F4.PNG

Racines de F4[modifier | modifier le code]

(\pm 1,\pm 1,0,0)
(\pm 1,0,\pm 1,0)
(\pm 1,0,0,\pm 1)
(0,\pm 1,\pm 1,0)
(0,\pm 1,0,\pm 1)
(0,0,\pm 1,\pm 1)
(\pm 1,0,0,0)
(0,\pm 1,0,0)
(0,0,\pm 1,0)
(0,0,0,\pm 1)
\left(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right)

Racines simples :

(0,0,0,1)
(0,0,1,-1)
(0,1,-1,0)
\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

Matrice de Cartan[modifier | modifier le code]


\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) F4 sur le site The Octonions de John C. Baez, à l'UCLA