Attracteur

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Représentation visuelle d'un attracteur étrange

Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, cinq types d'attracteurs sont définis : ponctuel, ponctuel périodique, périodique, étrange[à définir], spatial.

Définition[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Flot (mathématiques).

Soit E un espace de Banach muni d'une mesure, Ω un ouvert de E et x' f(x) une équation différentielle autonome telle que f soit une fonction de Ω dans E localement lipschitzienne. L'équation différentielle définit ainsi un flot unique et continu[1]. Si x est un élément de Ω, ω(x) désigne l'ensemble ω-limite de l'orbite de x et α(x) son ensemble α-limite. Les termes de flot, orbite, ensembles ω-limite et α-limite sont explicités dans l'article détaillé.

L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limite[2].

Une définition[modifier | modifier le code]

Des travaux actuels[3],[4] de tentative de classification générale des systèmes dynamiques sur une variété compacte font référence à la définition suivante[précision nécessaire] :

Un attracteur est un compact invariant \Omega dont un des points est d'orbite dense dans \Omega et tel que son bassin, c'est-à-dire l'ensemble des points de l'espace dynamique dont l'ensemble ω-limite est inclus dans \Omega, est de mesure de Lebesgue positive.

Intérêt[modifier | modifier le code]

Il n'est pas toujours possible de calculer finement le comportement d'un système composé d'un très grand nombre d'éléments qui interagissent (par exemple un plasma), mais si on arrive à en déterminer un attracteur, on pourra dans une certaine mesure traiter le problème en travaillant sur celui-ci. Cette méthode se montre utile, en ce qui concerne les plasmas, dans les calculs de confinement des tokamaks.

Quelques attracteurs spécifiques expliquent aussi des cas de passage d'un état chaotique à un état ordonné, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton ou pour les Planeur dans le jeu de la vie de Conway. En règle générale, la connaissance des attracteurs permet de savoir partiellement (c’est-à-dire ici au moins statistiquement) ce qui va émerger du chaos, alors que la connaissance des éléments individuels du système chaotique n'y aide pas particulièrement.

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette propriété est démontrée dans l'article détaillé
  2. Tewfik Sari Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, in Géométries et Dynamiques, Khaled Sadallah et Abdelghai Zeghib (éditeurs), Hermann, Travaux en Cours 70 (2008) 259-274 (page 264).
  3. http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
  4. A Global View of Dynamics and a Conjecture on the Denseness of Finitude of Attractors. Jacob Palis. Astérisque. França: , v.261, p.339 - 351, 2000.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Polynomial Strange Attractors (galerie)