Cup-produit

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Le cup-produit est une opération définie sur les groupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles. Cette opération est graduée, associative et distributive, ce qui permet de définir l'anneau de cohomologie (en). Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructions analogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme du produit de Massey (en).

Il n'existe pas de cup-produit en homologie, mais on peut définir un cap-produit (en) ou invoquer la dualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient.

Définition[modifier | modifier le code]

On donne ici la définition pour la cohomologie singulière d'un espace topologique X, à coefficients dans un anneau commutatif.

Le cup-produit est une opération  \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X) correspondant à la composition :

 C^\bullet(X) \times C^\bullet(X)\overset{K^{*}}{\longrightarrow} C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\longrightarrow} C^\bullet(X)

associée aux complexes de chaînes de X et X \times X, avec K l'application de Künneth et la diagonale  \Delta : X \to X \times X.

Si σ est un (p+q)-simplexe singulier, si \iota_S est le plongement canonique du simplexe engendré par S dans le (p+q)-simplexe standard, si c est un p-cochaîne et d est un q-cochaîne,

(c \smile d)(\sigma) = c(\sigma \circ \iota_{0,1, \dots, p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,\dots, p + q})

Pour voir que ce cup-produit de cochaînes définit un cup-produit des classes de cohomologie, il suffit de montrer que les applications de cobord vérifient :

\delta(c \smile d) = \delta{c} \smile d + (-1)^p(c \smile \delta{d})

ce qui montre que le cup-produit de deux cocycles est encore un cocycle.

En cohomologie de De Rham, le cup-produit de formes différentielles est induit par le produit extérieur. En effet, la règle de Leibniz s'écrit

\mathrm d(\omega \wedge \eta) = \mathrm d \omega \wedge \eta + (-1)^p \omega \wedge \mathrm d \eta

et on pose

[\omega]\smile[\eta] = [\omega \wedge \eta].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le cup-produit vérifie l'identité suivante, qui fait de l'anneau de cohomologie un anneau gradué :

\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)

C'est une opération bilinéaire :

 (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v and  u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2.

et associative :

\alpha\smile(\beta\smile\gamma)=(\alpha\smile\beta)\smile\gamma

Il s'agit d'une opération naturellement fonctorielle, en ce que pour toute application continue f,

f^{*}(\alpha \smile \beta) = f^{*} \alpha \smile f^{*} \beta

Si X1 et X2 sont deux espaces topologiques, et p_i: X_1 \times X_2 \to X_i les deux projections canoniques, on peut définir un cup-produit externe


\begin{align}
\times~:~&H^{k}(X_1) \times H^{\ell}(X_2) \to H^{k + \ell}(X_1 \times X_2) \\
         & a \times b \mapsto p_1^{*}(a) \smile p_2^{*}(b)
\end{align}

En théorie des nœuds, le nombre d'enlacement correspond à un cup-produit non nul dans le complément d'un nœud. D'une manière générale les produits de Massey sont en lien avec les invariants de Milnor.

Référence[modifier | modifier le code]