Jeu du chaos

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Création du triangle de Sierpinski selon la méthode du jeu du chaos
Animation utilisant la méthode du jeu du chaos

En mathématiques, le terme jeu du chaos a été introduit en 1993 par Michael Barnsley[1].

À l'origine, il s'agissait d'une méthode simple et rapide de création de fractales utilisant un polygone et un point initial choisi au hasard dans ce polygone[2]. La fractale est créée en créant, par itérations successives une séquence de points, partant d'un point initial choisi aléatoirement, pour lesquels chaque point de la séquence est positionné à une fraction donnée de la distance qui sépare le point précédent d'un des sommets du polygone. Ce sommet est choisi aléatoirement à chaque itération. En répétant ce processus un nombre de fois important, et en ignorant les premiers points de la suite, un motif fractal apparait dans la plupart des cas.

En utilisant un triangle isocèle et un rapport 1/2, le jeu du chaos fait apparaître le triangle de Sierpinski, (voir illustration).

Le terme est parfois employé pour désigner une méthode de génération de l'attracteur d'un système de fonctions itérées (IFS). Les motifs créés à partir du jeu du chaos sont ceux générés par un IFS constitué uniquement d'homothéties de rapport égal.

Partant d'un point x_0 du plan et de k points c_i, les itérations successives créent la suite de points x_n telle que x_n = f_i(x_{n-1}), où f_i est une homothétie de rapport r (0<r<1) centrée sur l'un des points c_i choisi aléatoirement. L'ensemble des points converge vers l'attracteur concerné. Si le point x_0 appartient à l'attracteur, alors tous les points appartiendront à l'attracteur.

Cette méthode est utilisée pour sa simplicité et sa rapidité, mais le nombre de motifs qu'elle peut générer est plus limité qu'un système de fonctions itérées.

Sauf cas particulier, la dimension de Hausdorff D_H de l'attracteur généré par un jeu du chaos de rapport r, ayant n centres d'homothétie vaut : D_H=\ln{(n)}/\ln{(1/r)}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Michael Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann,‎ 1993, 2e éd. (ISBN 978-0-12-079061-6)
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Chaos Game », MathWorld

Liens externes[modifier | modifier le code]