Somme de Gauss

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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pp désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs.

Elles sont introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss qui les utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Elles sont utilisées pour établir la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, Fp le corps fini ℤ/pℤ, Fp* le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls et ω désigne une racine primitive p-ième de l'unité, le caractère ψm désigne celui qui, à 1F associe ωm.

  • Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, .), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :
G(\chi ,\psi)=\sum_{\bar x \in F_p^*} \chi(x)\psi(x) \quad \text{et}\quad G(\chi ,\psi_n)= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nk}.

Pour une raison de simplicité, χ et ψ sont aussi considérés comme des fonctions définies sur l'anneau ℤ des entiers, avec la convention suivante :

\forall \bar x \in \mathbb F_p^*,\;\forall x\in \bar x \quad \chi(x) = \chi (\bar x)\;\text{et}\;\psi(x)=\psi(\bar x)\quad ; \quad \forall n \in\Z \quad \chi(np)=0\;\text{et}\;\psi(np)=\psi(\bar 0)=1.

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe G(χ, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp* dans le groupe multiplicatif du corps.

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples.

  • Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :
     \forall n \in\Z\quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) .
    Ici, si z est un nombre complexe, z désigne son conjugué.
  • Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à 1, alors l'égalité suivante est vérifiée :
    G(\chi, \psi)G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p.
    Cette propriété possède le corollaire suivant :
  • Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de Fp* et –1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :
    G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}p\Big ) p.
    Dans cet article, (–1/p) désigne le symbole de Legendre.

Applications[modifier | modifier le code]

Somme quadratique de Gauss[modifier | modifier le code]

L'exemple historique, publié par Gauss en 1801 est le suivant :

  • Si τp est la somme définie à la ligne suivante, alors τp2 est égal à (–1/p)p.
\text{si } \tau_p=\sum_{k=1}^p \exp\left(\frac {2 \pi i k^2}p\right) \text{ alors } \tau_p^2 =\left( \frac {-1}{p} \right) p.

Loi de réciprocité quadratique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de réciprocité quadratique.

La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair distinct de p :

 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}.

Elle se démontre à l'aide de la somme quadratique de Gauss et des propriétés des sommes.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]