Corps de fonctions
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
En mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t1, … , tn) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K.
- Une extension L de k est un corps de fonctions (à n variables) si et seulement si c'est le corps des fonctions rationnelles (en) d'une variété algébrique intègre sur k (de dimension n).
- Un corps de fonctions à une variable sur un corps fini est un corps global de caractéristique positive. C'est le corps des fonctions rationnelles d'une courbe projective lisse intègre sur un corps fini.
Exemple[modifier | modifier le code]
Soit K un corps. Le corps K(X) des fractions rationnelles à une variable est un corps de fonctions sur K.
Corps des constantes[modifier | modifier le code]
Soit F/K un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de F algébriques sur K est un corps, appelé corps des constantes.
Par exemple, est un corps de fonctions sur , son corps des constantes est .
Valuations et places[modifier | modifier le code]
Étant donné un corps de fonctions F/K d'une variable, on définit la notion d'anneau de valuation de F/K. C'est un sous-anneau O de F qui contient K, mais distinct de ces deux corps, et tel que pour tout x ∈ F, x ∈ O ou x−1 ∈ O.
Un tel anneau O est un anneau de valuation discrète et son idéal maximal est appelé une place de F/K.
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Article connexe[modifier | modifier le code]
Corps de fonctions (théorie des schémas) (en)
