Corps de fonctions

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En mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t1, … , tn) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit K un corps. Le corps des fractions rationnelles à une variable K(x) est un corps de fonctions sur K.

Corps des constantes[modifier | modifier le code]

Soit F/K un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de F algébriques sur K est un corps, appelé corps des constantes.

Par exemple, \C(x) est un corps de fonctions sur \R, son corps des constantes est \C.

Valuations et places[modifier | modifier le code]

Etant donné un corps de fonctions F/K d'une variable. On définit la notion d' anneau de valuation de F/K. C'est un sous anneau \mathcal{O} de F qui contient K, mais distincts de ces deux corps, et tel que

 \forall x \in F \quad x \in \mathcal{O} \text{ ou } x^{-1} \in \mathcal{O}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Corps de fonctions (théorie des schémas) (en)