Groupe unitaire

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En mathématiques, le groupe unitaire de degré n sur un corps K relativement à un antiautomorphisme involutif (cf. Algèbre involutive) σ de K (par exemple K le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées A d'ordre n à coefficients dans K, qui sont unitaires pour σ, c'est-à-dire telles Aσ(tA) = In. Plus généralement, on peut définir le groupe unitaire d'une forme hermitienne ou antihermitienne non dégénérée φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des éléments f de GL(E) tels que φ(f(x), f(y)) = φ(x, y) quels que soient les vecteurs x et y de E.

Groupes unitaires complexes[modifier | modifier le code]

Groupes unitaires compacts[modifier | modifier le code]

U(n,ℝ) coïncide avec le groupe orthogonal O(n,ℝ). C'est pourquoi U(n,ℂ) est généralement abrégé en U(n), car la distinction n'est pas nécessaire.

Dans le cas où n=1, U(1) est isomorphe à l'ensemble des nombres complexes de module 1 (le cercle unité), muni de la multiplication.

U(n) est un groupe de Lie réel de dimension n2. L'algèbre de Lie de U(n) est formée des matrices antihermitiennes complexes n×n.

Voir aussi[modifier | modifier le code]