Théorie de la percolation

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Le modèle mathématique de la percolation a été introduit par John Hammersley (en) en 1957. Il s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus précisément aux ensembles de sommets connectés dans un graphe aléatoire.

Informellement, imaginons que l'on place de l'eau au sommet d'une pierre spongieuse. S'il y a assez de petits canaux, il est alors possible qu'il y ait un chemin du centre de la pierre vers l'extérieur. Ce modèle permet de répondre à ce genre de question.

Différents types de percolation.

Cette théorie s'applique notamment en science des matériaux et en modélisation de phénomènes naturels, comme les incendies.

Description du modèle de base[modifier | modifier le code]

Soit p un paramètre compris entre 0 et 1. Deux points (ou sommets) à distance euclidienne 1 du réseau d-dimensionnel Z^d (deux tels points sont dits voisins) sont alors reliés avec probabilité p par une arête. Le résultat est un graphe aléatoire infini.

La probabilité de percolation de ce graphe, notée \theta(p) est la probabilité que ce graphe admette une composante connexe (aussi appelée amas) de taille infinie.

Par des arguments de couplage, on montre que \theta est une fonction croissante de p. On montre également qu'il existe un point critique p_c tel que \theta(p) est nulle si p<p_c et strictement positive si p>p_c. Harry Kesten a montré qu'en dimension 2, p_c=1/2.

Les différents régimes[modifier | modifier le code]

Le régime sous-critique  p<p_c[modifier | modifier le code]

Dans ce régime, il n'y a pas de chemin infini dans le graphe. Les composantes connexes (appelé aussi amas) finies sont généralement de petite taille. Plus précisément la probabilité que l'amas contenant le point x ait une taille qui dépasse n décroît exponentiellement vite avec n. En particulier, la taille moyenne d'un amas est finie.

Le régime critique  p=p_c[modifier | modifier le code]

Ce régime est encore mal connu (à l'exception notable de la dimension 2). On conjecture que \theta(p_c)=0, c’est-à-dire qu'il n'y a pas de percolation au point critique, mais ceci n'est pour l'instant démontré qu'en dimension deux ou en grande dimension  d>18. En particulier, le cas de la dimension trois, dont la pertinence physique est évidente, demeure non prouvé.

Le régime sur-critique  p>p_c[modifier | modifier le code]

Dans la phase surcritique, il y a une unique composante infinie de points connectés. En outre, les amas finis sont généralement de petite taille. L'amas infini rencontre tout l'espace; plus précisément la proportion de points d'une boîte de taille n qui appartiennent à l'amas infini tend vers \theta(p)>0 lorsque n tend vers l'infini. On sait aussi que l'amas infini est très rugueux : la proportion des points d'une boîte de taille n qui sont à la frontière de l'amas infini parmi la totalité des points de l'amas infini qui sont dans cette boîte tend vers 1-p lorsque n tend vers l'infini.

Autres modèles[modifier | modifier le code]

Applications pratiques des théories de percolation[modifier | modifier le code]

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En physique[modifier | modifier le code]

D'une manière générale, les exposants critiques observés pour les champs (expérimentalement ou à l'aide de modèles, par exemple dans les problèmes de conductivité, de mécanique et de permittivité) sont différents des exposants géométriques. Ces phénomènes traduisent l'effet de corrélations des champs dues aux interactions physiques (ou du point de vue mathématique, aux équations différentielles associées). En particulier, les exposants sont distincts dans les réseaux et dans les milieux continus, de par l'existence de distances infiniment faibles entre interfaces, qui ne peuvent être limitées par la taille des liens[1].

On distingue en général deux types de percolation, soit de premier et de second ordre. Le premier cas regroupe les transitions de champs continues qui se rencontrent en particulier dans les cas où le potentiel d'énergie possède un unique minimum. Au contraire, lorsque plusieurs minima locaux se développent, une transition discontinue peut apparaître. Ces phénomènes ne peuvent avoir lieu en théorie de la percolation standard.

Modélisation de phénomène naturels[modifier | modifier le code]

Incendies[modifier | modifier le code]

Une des applications de la théorie de la percolation est l'étude des feux de forêts (et de façon proche la propagation des épidémies[2]).

Dans ce modèle, les arbres sont les sommets du graphe, et une arête représente le fait que deux arbres ont le même état : si l'un a été touché par le feu (ou infecté), alors l'autre aussi. La question est alors de savoir si le feu reste localisé ou s'il s'étend à une grande partie de la forêt. Cette modélisation ne prend pas en compte le temps et suppose que tous les arbres sont identiques[3].

Migrations[modifier | modifier le code]

L'écologie du paysage s'intéresse à la capacité des espèces et des individus à se déplacer dans l'espace, ce qui nécessite de mesurer la connectivité écologique qui traduit la connectivité fonctionnelle entre habitats naturels ou semi-naturels, et des taux de migration (ou de dispersion), associés à des comportements complexes et aux aléas climatiques. une grande part des migrations se faisant de plus, de nuit. Ceci nécessite des méthodes souvent très coûteuses et délicates, comme le radio-pistage, la détection et/ou photographie automatique, les pièges à traces, ou les méthodes de capture-marquage-recapture.

La théorie de la percolation est alors un des outils théoriques testés pour l'étude et la modélisation de la capacité d'individus et de population à migrer (en flux) entre les grains ou taches du paysage, ce dernier étant en quelque sorte comparé à un milieu poreux dans lequel chaque espèce circule plus ou moins facilement. En d'autres termes, la percolation permet ici d'évaluer le rapport entre le réflexe migratoire des espèces et la disposition plus ou moins permissive d'un milieu naturel quelconque.

Économie[modifier | modifier le code]

La théorie de la percolation qui étudie les systèmes hétérogènes et désordonnés fournit une approche complémentaire en économie. Elle permet d'étudier la propagation d'une information (technologie, prix, comportement, opinion, etc.) sur une structure aléatoire et hétérogène où un ensemble d'éléments (agents, entreprises, etc.) forme un réseau.

Parmi les sujets d'applications de la percolation en économie, on peut citer les réseaux d'organisations, les marchés boursiers, les territoires, l'intégration de marché, la dominance d'une technologie ou d'une convention, etc.

Autres phénomènes de percolation[modifier | modifier le code]

On trouve des exemples de changement d'état ou de phase à partir d'un certain seuil dans de nombreux domaines, tant humains et sociaux (Pôle de développement) que physiques (Fission nucléaire).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Livres de références[modifier | modifier le code]

Vulgarisation[modifier | modifier le code]

  • Marie Théret, « Internet, feux de forêt et porosité : trouver le point commun », dans Mathématiques, l'explosion continue, FSMP, SFS, SMF, SMAI,‎ 2013, p. 57-62

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Application of Percolation Theory, Taylor and Francis, Muhammad Sahimi.
  2. Article La percolation, un jeu de pavages aléatoires de Hugo Duminil-Copin pour Images des Maths et Pour la science.
  3. Cette partie est inspirée de Théret 2013

Lien externe[modifier | modifier le code]