Symbole de Legendre

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Le symbole de Legendre est une notation utilisée par les mathématiciens, en théorie des nombres, particulièrement dans les domaines de la factorisation et des résidus quadratiques. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Adrien-Marie Legendre.

Définition[modifier | modifier le code]

Le symbole de Legendre est un cas particulier du symbole de Jacobi. Sa définition est la suivante :

Si p est un nombre premier et a un entier, alors le symbole de Legendre \left(\frac ap\right) vaut :
  • 0 si a est divisible par p
  • 1 si a est un résidu quadratique modulo p (ce qui signifie qu'il existe un entier k tel que ak2 (mod p)) mais n'est pas divisible par p
  • −1 si a n'est pas un résidu quadratique modulo p.

Propriétés du symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

Voici quelques propriétés du symbole de Legendre, utiles pour simplifier certains calculs :

Critère d'Euler[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Critère d'Euler.

Il est possible de formuler le critère d'Euler en utilisant le symbole de Legendre :

si p est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier a,
a^{(p-1)/2}\equiv\left(\frac ap\right)~\pmod p.

En effet, si a est divisible par p alors il en est de même de a^{(p-1)/2} donc les deux entiers de l'équation sont congrus à 0 modulo p, et si a n'est pas divisible par p, d'après le critère d'Euler (démontré dans l'article détaillé) a^{(p-1)/2} est congru à 1 modulo p si a est un résidu quadratique et à -1 sinon, ce qui correspond exactement à la définition du symbole de Legendre.

Lemme de Gauss[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Lemme de Gauss.

Soient p un nombre premier et a un entier non divisible par p. Alors

\left(\frac ap\right) = (-1)^n,

n est défini de la façon suivante :

considérons les entiers a,2a,3a,\ldots,\frac{p-1}2a et leurs plus petits résidus positifs modulo p, alors n est le nombre de ces résidus qui excèdent p/2,

ou encore, de façon équivalente :

n est le nombre d'entiers négatifs parmi r(a),r(2a),\ldots,r\left(\frac{p-1}2a\right), en désignant par r(k), pour tout entier k, l'unique entier de l'intervalle \left]-\frac{p+1}2,\frac{p-1}2\right] congru à k modulo p.

Corollaires[modifier | modifier le code]

En effet, \left(\frac{ab}p\right)=(ab)^{\frac{p-1}2}=a^{\frac{p-1}2}b^{\frac{p-1}2}=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right).

Généralisation du symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Symbole de Jacobi.

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre \left(\frac{a}{b}\right), l'entier b est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où b est un nombre composé (\left(\frac{2}{6}\right) par exemple).

Analyse harmonique sur Z/pZ*[modifier | modifier le code]

La multiplicativité du symbole de Legendre (premier corollaire ci-dessus) montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme du groupe multiplicatif Z/pZ* dans {-1, 1}, c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss ce qui permet une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.