Théorème de Bézout

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne le théorème de Bézout en géométrie algébrique. Pour le théorème de Bézout en arithmétique, voir théorème de Bachet-Bézout.
Nombre de points d'intersection entre deux courbes algébriques projectives, le quadrifolium (en bleu) d'équation (x^2+y^2)^3-4x^2y^2z^2=0 de degré 6, et le trifolium (en rouge) d'équation (x^2+y^2)^2+(3x^2y-y^3)z=0 de degré 4. Il y a 24 points d'intersection, à savoir : une intersection en (0,0,1) (au centre de la figure) de multiplicité 14, quatre autres intersections visibles sur la figure en des points simples, mais il y a aussi deux points d'intersection triples en l'infini à coordonnées complexes, (1, i, 0) et (1, -i,0).

Le théorème de Bézout, attribué à Étienne Bézout[1],[2], affirme que deux courbes algébriques projectives planes C, D de degrés m et n, définies sur un corps algébriquement clos k et sans composante irréductible commune, ont exactement mn points d'intersections, comptés avec leur multiplicité.

La forme faible du théorème dit que le nombre d'intersections (sans tenir compte des multiplicités) est majoré par mn. Autrement dit, si F, G sont deux polynômes homogènes à coefficients dans k (avec C=V_+(F) et D=V_+(G)[3]) de degrés respectifs m, n et sans facteur commun, alors le système

F(x,y,z)=0,  \ G(x,y,z)=0

admet au plus mn solutions dans le plan projectif P^2(k).

Origine[modifier | modifier le code]

Dans la géométrie de Descartes, le calcul de la tangente d'une courbe ou, ce qui revient au même, de la droite normale en un point, se fait par la recherche du cercle osculateur en ce point. La méthode décrite par Descartes consiste à écrire l'équation des cercles passant par le point de la courbe et à chercher celui des cercles qui n'a qu'un point d'intersection unique avec la courbe[4].

Dès le début du XVIIIe siècle, la recherche du nombre de points d'intersection de deux courbes planes d'équations cartésiennes implicites P(x,y)=0, Q(x,y)=0P, Q sont deux polynômes de degré respectifs m, n se fait par la méthode d'élimination d'une des deux variables.

Dès 1720, Maclaurin conjecture[5] qu’« en général, le nombre de points d'intersection est égal à m \times  n ». Léonard Euler examine la question sur quelques cas particulier mais ne parvient pas à faire rentrer le cas des racines multiples dans une démonstration générale[5]. Étienne Bézout est le premier à démontrer (1764) l'énoncé dans le cas où il n'y a que des racines simples[1].

Multiplicité d'intersection[modifier | modifier le code]

Soient F, G deux polynômes dans k[X, Y], non-constants et sans facteur irréductible commun. Alors l'ensemble de leurs zéros communs dans k^2 est fini. Fixons un zéro commun P = (a, b), et considérons l'anneau local O_P, constitué des fractions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas en P, et son quotient O_P/(F, G) par l'idéal engendré par F, G. Ce dernier est un k-espace vectoriel de dimension finie, sa dimension est appelée la multiplicité d'intersection des courbes V(F), V(G)[3] en (a,b).

Exemple : Si V(F), V(G) sont non-singulières, alors leur multiplicité d'intersection en (a, b) est 1 si et seulement si leurs tangentes en (a,b) sont distinctes.

Un cas particulier[modifier | modifier le code]

Le théorème de Bézout est très simple à démontrer lorsque l'une des courbes V_+(F) est une droite. En effet, par un automorphisme projectif du plan, on peut supposer que F(X,Y,Z)=X. De plus, on peut supposer que la droite Z=0 ne contient aucun point d'intersection des deux courbes. On se ramène alors à travailler dans le plan affine avec le polynôme F(X,Y)=X. Un point d'intersection de V(F)\cap V(G) est un point (0, b) avec G(0, b)=0. Notons P(Y)=G(0,Y). C'est un polynôme de degré n, et la multiplicité d'intersection de V(F) et V(G) en (0, b) est simplement la multiplicité de zéro de P(Y) en b. Le théorème résulte alors du fait que la somme des multiplicités des zéros de P(Y) est égale au degré de P(Y), donc à n.

Maintenant si l'une des courbes C est un multiple m d'une droite P, alors la multiplicité d'intersection de C et D en un point p est égale à m fois la multiplicité d'intersection de P et D en p. Ce qui implique encore Bézout. On remarque que la position de la droite P importe peu (il suffit qu'elle ne soit pas contenue dans D).

Principe de la preuve[modifier | modifier le code]

Les premières preuves de ce résultat (et d'autres analogues) utilisaient le résultant. Une preuve plus moderne est basée sur l'idée suivante : soit P une droite non contenue dans D, d'après le cas particulier ci-dessus, il suffit de montrer que C a le même nombre d'intersection (multiplicités comprises) que mP avec D. Cela se ramène alors à montrer que sur une courbe projective D, le degré total d'un diviseur principal (qui sera le diviseur associé à la fonction rationnelle restriction de F/X^m à D) est nul.

Le cas d'un corps de base quelconque[modifier | modifier le code]

Le théorème de Bézout sur un corps quelconque k (non nécessairement algébriquement clos) reste valable si l'on définit convenablement le degré d'un point dont les coordonnées ne sont pas nécessairement dans le corps de base. Plus précisément, si P est un point d'intersection, et si k(P) est le corps résiduel (c'est l'extension de k engendrée par les coordonnées de P), alors la multiplicité d'intersection i_P(F,G) est la longueur de l'anneau artinien O_P/(F, G) et le degré du point est le degré d'extension [k(P): k]. Le théorème de Bézout s'énonce comme

\deg F \deg G=\sum_P i_P(F,G) [k(P): k].

On peut noter que  i_P(F,G) [k(P): k]=\dim_k O_P/(F,G).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Cf. Étienne Bézout, « Mémoire sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique », Histoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris,‎ 1764.
  2. La première preuve correcte semble être celle de Georges-Henri Halphen, dans les années 1870 : (en) Robert Bix, Conics and Cubics, Springer,‎ 1998 (ISBN 978-0-387-98401-8), 230.
  3. a et b Pour F polynôme homogène en X, Y, Z, on note V+(F) l'ensemble projectif des points où F s'annule. Pour F polynome en X, Y, on note V(F) l'ensemble affine des points où F s'annule.
  4. Cf. La Géométrie (Descartes), livre II : « Façon generale pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes donnees, ou leurs contingentes, à angles droits. »
  5. a et b D'après Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], chap. IV « Géométrie analytique et analyse géométrique », p. 78-79.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Paradoxe de Cramer

Lien externe[modifier | modifier le code]

Le théorème de Bézout sur les intersections de courbes algébriques (1764), en ligne et commenté sur Bibnum