Liste de fractales par dimension de Hausdorff

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Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique[1].

Fractales déterministes[modifier | modifier le code]

δ < 1[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1 0 Nombres rationnels La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R[1].
Calculé 0.538 Attracteur de Feigenbaum Feigenbaum attractor.png L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique \scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}, où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale[2].
\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}} 0,6309 Ensemble de Cantor Ensemble de Cantor.gif Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la n^{eme} itération, le segment central de longueur \gamma^{m} . Sa dimension fractale vaut alors \textstyle{-\frac{\log(2)}{\log(\frac{1-\gamma}{2})}} et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec \scriptstyle{\gamma=1/3} [3].
\textstyle{\frac {\log(\scriptstyle\varphi)}{\log(2)}} 0.6942 Ensemble de Cantor asymétrique AsymmCantor.png Remarquer que la dimension n'est plus \textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}} [4]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable.

\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2 (nombre d'or).

\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}} 0.69897 Nombres réels avec décimales paires Even digits.png Rappelant un ensemble de Cantor[1].
\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}} 0,7325 Fractale UNU Fractale unu.gif Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
1 1.0000 Ensemble de Smith-Volterra-Cantor Smith-Volterra set2.png Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}} = 1 1.0000 Courbe de Takagi ou Blanc-manger Takagi curve.png Définie sur l'intervalle unité par \textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}, où s(x) est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: \textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}} avec \scriptstyle{w = 1/2}. La dimension de Hausdorff vaut 2+\log(w)/\log(2). (Hunt cité par Mandelbrot[5] ).
calculé 1.0812 Ensemble de Julia z² + 1/4 Julia z2+0,25.png Ensemble de Julia pour c = 1/4[6].
Solution s de 2|\alpha|^{3s}+|\alpha|^{4s}=1 1.0933 Frontière de la Fractale de Rauzy Rauzy fractal.png Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: \scriptstyle{1\mapsto12}, \scriptstyle{2\mapsto13} et \scriptstyle{3}\mapsto1[7]..\alpha est l'une des deux racines complexes conjuguées de z^3-z^2-z-1=0.
\textstyle{2\frac {\ln(3)} {\ln(7)}} 1,12915 Île de Gosper Gosper Island 4.svg Baptisée par Mandelbrot (1977)[8]. Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting) 1.2 Ensemble de Julia pour c=i (dendrite) Dendrite Julia.PNG Ensemble de Julia pour c=i
\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}} 1.2083 Fractale du mot de Fibonacci à 60 ° Fibo 60deg F18.png Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec \scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2 (Nombre d'or).
1.2107 Frontière du tame twindragon TameTwindragontile.png Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}} 1.2465 Frontière de la fractale du mot de Fibonacci Fibonacci word fractal boundary.png Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec \scriptstyle\varphi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} (Nombre d'or).
1,26 Attracteur de Hénon Henon attractor.png La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1,2619 Courbe de Koch Koch curve.svg En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1,2619 Frontière de la Courbe Terdragon Terdragon boundary.png L-System : semblable à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1,2619 Carré de Cantor Carre cantor.gif Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé 1,2683 Ensemble de Julia pour z²-1 Julia z2-1.png Ensemble de Julia pour c=-1[11].
Mesuré (box-counting) 1,3 Fractale Beryl pour k=1 Beryl fractal.png Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan \nu_0=1[12]
calculé 1,3057 Baderne d'Apollonius Apollonian 2D N3 L7.svg Voir[13]
calculé (box-counting) 1,328 Fractale d'inversion à 5 cercles Cicle inversion.svg L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir[14]
calculé 1.3934 Lapin de Douady Douady rabbit.png Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i[15].
Mesuré (box counting) 1,42 +/- 0,02 Fractale de Newton Newton fractal.png Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation z^3-1=0 par la méthode de Newton.
\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}} 1,4649 Fractale de Vicsek Box fractal.svg Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}} 1,4649 Courbe de Koch quadratique (type 1) Quadratic Koch 2.png On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)} = \frac {3} {2}} 1,5000 Courbe de Koch quadratique (type 2) Quadratic Koch.png Appelée également « saucisse de Minkowski ».
 \textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)} = \frac {3} {2}} (supposé exact) 1.5000 une fonction de Weierstrass: \textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {\sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}} Weierstrass functionAMD.png La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass \scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}} définie par \textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}} avec 1<a<2 et b>1 a pour borne supérieure \scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}. Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus[1].
\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)}
{\log(2)}} 1,5236 Frontière courbe du dragon Boundary dragon curve.png Cf. Chang & Zhang[16].
\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)}
{\log(2)}} 1.5236 Frontière du twindragon Twindragontile.png Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1,5849 Arbre à trois branches Arbre 3 branches.pngArbre 3 branches2.png Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1,5849 Triangle de Sierpiński SierpinskiTriangle.PNG C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1,5849 Courbe de Sierpiński en pointe de flèche PfeilspitzenFraktal.PNG Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1,5849 Frontière de la fractale de l'équerre (T-square) Boundary T-Square fractal.png
\textstyle{\frac{\log{\varphi}}{log{\sqrt[\varphi]{\varphi}}}} 1,61803 = \varphi un dragon d'or Phi glito.png Construit avec deux homothéties de rapport r et r^2, avec \scriptstyle{r = 1 / \varphi^{1/\varphi}}. La dimension vaut \scriptstyle{\varphi} car \scriptstyle{({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1}. Avec \scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2 (Nombre d'or).
1+\log_3(2) 1,6309 Triangle de Pascal modulo 3 Pascal triangle modulo 3.png D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est \scriptstyle 1 + \log_k(\frac{k+1}{2})(Cf.Stephen Wolfram[17])
\textstyle{\frac{\log(6)}{\log (3)}} 1,6309 Hexagone de Sierpinski Sierpinski hexagon.png Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.
\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}} 1,6379 Fractale du mot de Fibonacci Fibonacci fractal F23 steps.png Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F23 = 28657 segments[9].. Avec \scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2 (Nombre d'or).
Solution de \scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1} 1.6402 Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3 IFS3sim3ratios.png Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à n simulitudes de ratio c_n, a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : \scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1} [1].
1+\log_5(3) 1,6826 Triangle de Pascal modulo 5 Pascal triangle modulo 5.png D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est \scriptstyle 1 + \log_k(\frac{k+1}{2})(Cf.Stephen Wolfram[17])
Mesuré (box-counting) 1.7 Attracteur d'Ikeda Ikeda map a=1 b=0.9 k=0.4 p=6.jpg Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda \scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + \lfloor z_n \rfloor^2)]]} . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs[18].
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}} 1,7227 Fractale Pinwheel Pinwheel fractal.png Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.
\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}} 1,7712 Flocon hexagonal Flocon hexagonal.gif Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}} 1,7848 Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro Koch Curve 85degrees.png Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors \scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+\cos(a))}. La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}} 1.8272 Une fractale auto-affine Self-affine set.png Construite itérativement à partir d'une grille \scriptstyle{p \times q} sur un carré, avec \scriptstyle{p \le q}. Sa dimension de Hausdorff égale \scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}[1] avec \scriptstyle{a=\frac{\log(p)}{\log(q)}} et n_k le nombre d'éléments dans la colonne k. La Dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}} 1,8617 Flocon pentagonal (pentaflake) Penta plexity.png Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, \phi est le nombre d'or et vaut \scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}
solution de \scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1} 1.8687 L'"arbre des singes" Monkeytree.svg Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport 1/3 et 5 homothéties de rapport \scriptstyle{1/{3\sqrt{3}}}[19].
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1,8928 Tapis de Sierpiński Menger 4.PNG
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1,8928 Cube de Cantor Cube Cantor.png Ensemble de Cantor en trois dimensions.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1,8928 Produit cartésien de la Courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor Koch Cantor cartesian product.png Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors Dim_H(FxG) = Dim_H(F) + Dim_H(G)[1].
Estimé 1,9340 Frontière de la fractale de Lévy LevyFractal.png Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
1,974 Pavage de Penrose Pen0305c.gif Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[20]

δ = 2[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
2 2 Frontière de l'ensemble de Mandelbrot Boundary mandelbrot set.png La frontière a la même dimension que l'ensemble[21]..
2 2 certains ensembles de Julia Juliadim2.png Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2[22]..
2 2 Courbe de Sierpiński Sierpinski-Curve-3.png Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
2 2 Courbe de Hilbert Hilbert-Curve-3.png Peut être étendue à trois dimensions.
2 2 Courbe de Peano Peano curve.png et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
2 2 Courbe de Moore Moore-curve-stages-1-through-4.png Peut être étendue à 3 dimensions.
2 2 Courbe de Lebesgue Z-order curve.png Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3[23]..
\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}} 2 Courbe du dragon Courbe du Dragon.gif Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[16])
2 Courbe "Terdragon" Terdragon curve.png L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}} 2 Courbe de Peano-Gosper Gosper curve 3.svg Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de \scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1} 2 Courbe remplissant le flocon de Koch Mandeltree.svg Proposée par Mandelbrot en 1982[24], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport \scriptstyle{1/3\sqrt{3}}.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}} 2 Tétraèdre de Sierpinski Tetraedre Sierpinski.png Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini[25].
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}} 2 Fractale H H fractal2.png Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
\textstyle{\frac {\ln(1/2)} {\ln(\sqrt{2}/2)}} 2 Arbre de Pythagore PythagorasTree.png Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}} 2 Fractale en croix grecque Greek cross fractal stage 4.png Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
Mesuré 2.01 +-0.01 Attracteur de Rössler Roessler attractor.png La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02[26],[27].
Mesuré 2.06 +-0.01 Attracteur étrange de Lorenz Lorenz attractor.png Pour les paramètres de l'attracteur: v=40,\sigma=16 et b=4[28].
\textstyle{\frac {\log(5)} {\log(2)}} 2,3219 Pyramide fractale Fractal pyramid.jpg Chaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.
\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(2+\phi)}} 2,3296 Dodécaèdre fractal Dodecaedron fractal.jpg Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres[25].
\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}} 2,33 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1 Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
2,47 Interstices des sphères d'Apollonius Apollonian spheres2.png Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert[29].
\textstyle{\frac {\ln(32)} {\ln(4)}} 2,50 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2 Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
\textstyle{\frac {\ln(16)} {\ln(3)}} 2,5237 Hypercube de Cantor pas de représentation possible Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à \scriptstyle n\frac{\ln(2)}{\ln(3)}
\textstyle{\frac{\ln(\frac{\sqrt7}6-\frac{1}3)}{\ln(\sqrt2-1)}} 2,529 Cube de Jérusalem Cube de Jérusalem, itération 3.png Son rapport d'homothétie est irrationnel, il vaut \scriptstyle \sqrt {2} - 1. Une itération sur un cube n construit huit cubes de rang suivant n+1 et douze cubes de rang n+2. A comparer avec l'Éponge de Menger, dont le volume tend aussi vers zéro.
\textstyle{\frac {\ln(12)} {\ln(1+\phi)}} 2,5819 Icosaèdre fractal Icosaedron fractal.jpg Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres[25].
\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}} 2,5849 Octaèdre fractal Octaedron fractal.jpg Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres[25].
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}} 2.5849 Surface de Koch Koch surface 3.png Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}} 2,59 Fractale en croix grecque en trois dimensions Greek cross 3D.png Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(3)}} 2,7268 Éponge de Menger Menger.png Sa surface a une dimension fractale de \scriptstyle \frac{\ln(12)}{\ln(3)} = 2,2618.
\textstyle{\frac {\log(7)} {\log(2)}} 2,8073 Heptaèdre fractal Fractal heptahedron.png Construit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ = 3[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}} 3 Courbe de Hilbert en trois dimensions Hilbert512.gif Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}} 3 Courbe de Lebesgue en trois dimensions Lebesgue-3d-step3.png Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions[30]..
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}} 3 Courbe de Moore en trois dimensions Moore3d-step3.png Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
\textstyle{3} 3 Mandelbulb Mandelbulb p8a.jpg Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions[31].

Fractales aléatoires et naturelles[modifier | modifier le code]

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
1/2 0.5 Zeros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener) Wiener process zoom.png Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale[1],[32].
Solution de E(C_1^s + C_2^s)=1 avec E(C_1)=0,5 et E(C_2)=0,3 0.7499 Ensemble de Cantor aléatoire 50 % / 30 % Random Cantor set.png À chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire C_1: un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire C_2. Sa dimension de Hausdorff s satisfait alors l'équation : \scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}. (E(X) est l'espérance mathématique de X)[1].
Mesuré 1,05 Chromosome humain no 22 DNA simple.svg Voir référence pour les détails de la méthode de calcul[33].
Solution de s+1=12*2^{-(s+1)}-6*3^{-(s+1)} 1.144… Courbe de Koch avec intervalle aléatoire Random interval koch.png La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)[1].
Mesuré 1,24 Côte de Grande-Bretagne Britain-fractal-coastline-combined.jpg Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et citée par Benoît Mandelbrot[34].
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}} 1.2619 Courbe de Koch avec orientation aléatoire Random orientation koch.png On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe[1].
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Frontière du mouvement brownien[35] Front mouvt brownien.png
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Polymère en deux dimensions Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection[36].
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions Front de percolation.png Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3 %). C'est également la dimension fractale du front de corrosion[36].
1,40 Agrégat d'agrégats en deux dimensions Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4[36].
\textstyle{\textstyle{2-\frac{1}{2}}} 1.5 Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener) Wiener process zoom.png Graphe d'une fonction f telle que, pour tout couple de réels positifs x et x+h, la différence de leurs images f(x+h)-f(x) suit une distribution gaussienne centrée de variance = h. Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index \alpha suit la même définition mais avec une variance = h^{2\alpha}, dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = 2-\alpha[1].
Mesuré 1,52 Côte de Norvège Norway municipalities.png Cf J. Feder[37].
Mesuré 1,55 Marche aléatoire sans intersection Polymer 2D.png Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
\textstyle{\frac {5} {3}} 1,66 Polymère en trois dimensions Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection[36].
1,70 Agrégat par diffusion en deux dimensions Aggregation limitee par diffusion.png En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70[36].
\textstyle{\frac {\log(9*0.75)} {\log(3)}} 1.7381 Percolation fractale à 75 % de probabilité Fractal percolation 75.png Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale \textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}[1].
7/4 1,75 Frontière d'un amas de percolation en deux dimensions PercolationHull.png La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)[38].
\textstyle{\frac {91} {48}} 1,8958 Amas de percolation en deux dimensions Amas de percolation.png Sous le seuil de percolation (59,3 %), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48[36],[39]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}} 2 Mouvement brownien Mouvt brownien2.png Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré Environ 2 Distribution des amas de galaxies Abell 1835 Hubble.jpg Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence[40]
\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}} 2,33 Surface du chou-fleur Blumenkohl-1.jpg Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
2,4 ± 0,2 Boule de papier froissé Paperball.png Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé[41]. Les plis se forment à toutes les échelles.
2,50 Agrégat par diffusion en trois dimensions 3D DLA.jpg En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5[36].
2.50 Figure de Lichtenberg PlanePair2.jpg Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation[36].
\textstyle{3-\frac{1}{2}} 2.5 surface Brownienne Brownian surface.png Une fonction \scriptstyle{f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}, donne l'altitude d'un point (x,y) telle que, pour deux incréments positifs h et k, \scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)} suive une distribution Gaussienne centrée de variance = \scriptstyle{\sqrt{h^2+k^2}}. Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index \alpha suit la même définition mais avec une variance = \scriptstyle{(h^2+k^2)^\alpha}, dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = 3-\alpha[1].
Mesuré 2.52 Amas de percolation en 3 dimensions 3Dpercolation.png Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ[39].
Mesuré 2.66 Brocoli[42] Broccoli DSC00862.png
2.79 Surface du cerveau humain[43] Cerebellum NIH.png
2,97 Surface pulmonaire Thorax Lung 3d (2).jpg Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3[36].
Calculé 3 Corde quantique Point&string.png Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard[44].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m et n Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd.,‎ 1990 & 2003 (ISBN 978-0-470-84862-3), xxv
  2. Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum
  3. The scattering from generalized Cantor fractals
  4. (en) Tsang, K. Y., « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically », Phys. Rev. Lett., vol. 57,‎ 1986, p. 1390-1393
  5. Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 978-0-387-98993-8)
  6. Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4
  7. Frontière du fractal de Rauzy
  8. L'île de Gosper sur Mathworld
  9. a, b et c Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci
  10. a et b On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999
  11. Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1
  12. Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1
  13. Dimension fractale de la baderne d'Apollonius
  14. Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles
  15. Dimension fractale du lapin de Douady
  16. a et b Dimension fractale de la courbe du dragon
  17. a et b Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)
  18. Estimating Fractal dimension
  19. « La courbe de l'"arbre des singes" » (ArchiveWikiwixArchive.isGoogleQue faire ?). Consulté le 2013-03-30
  20. P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling «  » (ArchiveWikiwixArchive.isGoogleQue faire ?). Consulté le 2013-03-30 [PDF]
  21. Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot
  22. Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia
  23. Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue
  24. "Penser les mathématiques", Editions du Seuil (1982) (ISBN 2020060612)
  25. a, b, c et d polyèdres fractals sur le site de Paul Bourke
  26. Les attracteurs étranges
  27. Fractals and the Rössler attractor
  28. The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983)
  29. M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [1] [PDF]
  30. Extension 3D de la courbe de Lebesgue
  31. Dimension de Haudorff du Mandelbulb
  32. Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, "Brownian Motion", Cambridge University Press, 2010
  33. Dimension fractale du chromosome humain n°22
  34. « How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension » (ArchiveWikiwixArchive.isGoogleQue faire ?). Consulté le 2013-03-30, B. Mandelbrot
  35. Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner, 2000, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 », 2.
  36. a, b, c, d, e, f, g, h et i Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs »,‎ 2001 (ISBN 2-080-81466-4)
  37. Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)
  38. Hull-generating walks, Ziff, Robert M. (1989)
  39. a et b "Applications of percolation theory" par Muhammad Sahimi (1994)
  40. Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey
  41. (it) Filipponi, Introduzione alla fisica,‎ 2005 (ISBN 8-808-07073-5)
  42. (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », The Physics Factbook (consulté le 5 avril 2007)
  43. Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », Technology Review,‎ 2005 (consulté le 5 avril 2007)
  44. Dimension de Hausdorff d'une corde quantique

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), (ISBN 0471922870)
  • Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), (ISBN 0716711869) .
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), (ISBN 0387966080)
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; (ISBN 0120790610)
  • Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), (ISBN 2080814664)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]

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