Liste de fractales par dimension de Hausdorff

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Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique.^[1]

[modifier] Fractales déterministes

[modifier] δ < 1

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
0 => donc pas une fractale	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R.^[1]
Calculé	0.538	Attracteur de Feigenbaum	L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale.^[2]
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}}$	0,6309	Ensemble de Cantor	Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable.
$\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}}$	0.69897	Nombres réels avec décimales paires	Similaire à un ensemble de Cantor^[1].
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}}$	0,7325	Fractale UNU	Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u -> unu (un « u ») -> unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») -> etc.

[modifier] 1 <= δ < 2

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
1	1.0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor	Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64ème etc... central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}}$	1.0000	Courbe de Takagi ou Blancmange	Définie sur l'intervale unité par $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $\scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot ^[3] ).
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(7)}}$	1,0686	Île de Gosper
calculé	1.0812	Ensemble de Julia z² + 1/4	Ensemble de Julia pour c = 1/4. ^[4]
Mesuré(Box counting)	1.2	Ensemble de Julia "Dendrite"	Ensemble de Julia pour c=i
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}}$	1.2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60°	Construit à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[5]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
$\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}}$	1.2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous ^[5]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
	1,26	Attracteur de Hénon	La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$	1,2619	Courbe de Koch	En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt3)}}$	1,2619	Frontière de la Courbe Terdragon, Fudgeflake	L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}}$	1,2619	Carré de Cantor	Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1	Ensemble de Julia pour c=-1. ^[6]
calculé	1,3	Fractale Beryl pour k=1	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x,y)->(k(x+y),xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$ ^[7]
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius	Voir ^[8]
calculé (box-counting)	1.328	Fractale d'inversion à 5 cercles	L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Egalement une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir ^[9]
calculé	1.3934	Lapin de Douady	Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i. ^[10]
mesuré (box counting)	1,42 +/- 0,02	Fractale de Newton	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Fractale de Vicsek	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Courbe de Koch quadratique (type 1)	On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique (type 2)	Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$\textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)}}$ (supposé exact)	1.5000	une fonction de Weierstrass: $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}}$	La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $\scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}}$ définie par $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $\scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus.^[1]
	1,5236	Frontière courbe du dragon	Cf. Chang & Zhang^[11].
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Arbre à trois branches	Chaque branche porte trois branches (ici 90° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Triangle de Sierpiński	C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche	Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$1 + l o g 3 (2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3	D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[12])
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments. ^[5]. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $\scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$	1.6402	Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3	Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $\scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ ^[1].
$1 + l o g 5 (3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5	D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram^[12])
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}}$	1,7227	Fractale Pinwheel	Construite à partir du pavage "pinwheel"de John Conway.
$\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}}$	1,7712	Flocon hexagonal	Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro	Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $\scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}}$	1.8272	Une fractale auto-affine	Construite itérativement à partir d'une grille $\scriptstyle{p \times q}$ sur un carré, avec $\scriptstyle{p \le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $\scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}$ ^[1] avec $\scriptstyle{a=\frac{\log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. La Dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}}$	1,8617	Flocon pentagonal (pentaflake)	Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $φ$ est le nombre d'or et vaut $\scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Tapis de Sierpiński
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Cube de Cantor	Ensemble de Cantor en trois dimensions.
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy	Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
	1,974	Pavage de Penrose	Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal^[13]

[modifier] δ = 2

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot	La frontière a la même dimension que l'ensemble. ^[14].
$2$	2	certains ensembles de Julia	Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2. ^[15].
$2$	2	Courbe de Sierpiński	Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert	Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano	et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore	Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue	Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3. ^[16].
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$	2	Courbe du dragon	Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang^[11])
	2	Courbe "Terdragon"	L-System : F-> F+F-F ; angle=120°.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	T-square
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Courbe de Peano-Gosper	Sa frontière est l'île de Gosper.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Tétraèdre de Sierpiński
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale H	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
$\textstyle{\frac {\ln(1/2)} {\ln(\sqrt{2}/2)}}$	2	Arbre de Pythagore	Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale en croix grecque	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

[modifier] 2 < δ < 3

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
	2,06	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4.^[17]
$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(2+\phi)}}$	2,3296	Dodécaèdre fractal		Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.
$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
	2,47	Interstices des sphères apolloniennes		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert^[18].
$\textstyle{\frac {\ln(32)} {\ln(4)}}$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$\textstyle{\frac {\ln(16)} {\ln(3)}}$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $\scriptstyle n\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$
$\textstyle{\frac {\ln(12)} {\ln(1+\phi)}}$	2,5819	Icosaèdre fractal		Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,5849	Octaèdre fractal		Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.
$\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}}$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(3)}}$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $\scriptstyle \frac{\ln(12)}{\ln(3)} = 2,2618$ .

[modifier] δ = 3

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions.^[19].
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Moore en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.

[modifier] Fractales aléatoires et naturelles

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
Solution de $E(C_1^s + C_2^s)=1$ avec $E (C 1) = 0,5$ et $E (C 2) = 0,3$	0.7499	Ensemble de Cantor aléatoire 50% / 30%	A chaque itération, la longueur de l'intervale de gauche est définie par une variable aléatoire $C 1$ : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervale de droite, avec pour autre variable aléatoire $C 2$ . Sa dimension de Hausdorff $s$ satisfait alors l'équation : $\scriptstyle{E(C_1^s + C_2^s)=1}$ . ( $E (X)$ est l'espérance mathématique de $X$ ).^[1]
Mesuré	1,05	Chromosome humain n°22	Voir référence pour les détails de la méthode de calcul ^[20].
Solution de $s + 1 = 12 * 2 - (s + 1) - 6 * 3 - (s + 1)$	1.144...	Courbe de Koch avec intervalle aléatoire	La longueur de l'intevalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3). ^[1]
mesuré	1,24	Côte de Grande-Bretagne	Dimension fractale de la côte ouest de Grande Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et cité par Benoît Mandelbrot.^[21]
$\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}}$	1.2619	Courbe de Koch avec orientation aléatoire	On intruduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe.^[1]
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Frontière du mouvement brownien^[22]
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Polymère en deux dimensions	Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection^[23].
$\textstyle{\frac {4}{3}}$	1,33	Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions	Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3%). C'est également la dimension fractale du front de corrosion^[23].
	1,40	Agrégat d'agrégats en deux dimensions	Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4.^[23]
$\textstyle{\textstyle{2-\frac{1}{2}}}$	1.5	Graphe d'une fonction Brownienne	Graphe d'une fonction $f$ telle que, pour tout couple de réels positifs $x$ et $x + h$ , la différence de leurs images $f (x + h) - f (x)$ suit une distribution gaussienne centrée de variance = $h$ . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $h 2α$ , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = $2 - α$ ^[1].
Mesuré	1,52	Côte de Norvège	Cf J. Feder ^[24].
Mesuré	1,55	Marche aléatoire sans intersection	Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
$\textstyle{\frac {5} {3}}$	1,66	Polymère en trois dimensions	Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection^[23].
	1,70	Agrégat par diffusion en deux dimensions	En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70^[23].
$\textstyle{\frac {\log(9*0.75)} {\log(3)}}$	1.7381	Percolation fractale à 75% de probabilité	Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale $\textstyle{\frac {\log(9p)} {\log(3)}}$ ^[1].
$\textstyle{\frac {91} {48}}$	1,8958	Amas de percolation en deux dimensions	Sous le seuil de percolation (59,3%), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48^[23]. Au delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$	2	Mouvement brownien	Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$	2,33	Surface du chou-fleur	Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
	2,4 ± 0,2	Boule de papier froissé	Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé^[25]. Les plis se forment à toutes les échelles.
	2,50	Agrégat par diffusion en trois dimensions	En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5^[23].
	2.50	Figure de Lichtenberg	Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation ^[23].
$\textstyle{3-\frac{1}{2}}$	2.5	surface Brownienne	Une fonction $\scriptstyle{f:\mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}}$ , donne l'altitude d'un point $(x, y)$ telle que, pour deux incréments positifs $h$ et $k$ , $\scriptstyle{f(x+h,y+k)-f(x,y)}$ suive une distribution Gaussienne centrée de variance = $\scriptstyle{\sqrt{h^2+k^2}}$ . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index $α$ suit la même définition mais avec une variance = $\scriptstyle{(h^2+k^2)^\alpha}$ , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = $3 - α$ ^[1].
Mesuré	2.66	Brocoli^[26]
	2.79	Surface du cerveau humain^[27]
	2,97	Surface pulmonaire	Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3^[23].
Calculé	3	Corde quantique	Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard.^[28]

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 2003 (ISBN 0-470-84862-6), p. xxv
↑ Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum
↑ (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 0-387-98993-5)
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4
↑ ^a ^b ^c Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci
↑ Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1
↑ Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1
↑ Dimension fractale de la baderne d'Apollonius
↑ Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles
↑ Dimension fractale du lapin de Douady
↑ ^a ^b Dimension fractale de la courbe du dragon
↑ ^a ^b Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)[1]
↑ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [2] [pdf]
↑ Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot
↑ Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia
↑ Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue
↑ The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983)
↑ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [3] [pdf]
↑ Extension 3D de la courbe de Lebesgue
↑ Dimension fractale du chromosome humain n°22
↑ How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension, B. Mandelbrot
↑ Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner (2000). "The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3." 2.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », 2001 (ISBN 2-080-81466-4)
↑ Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)
↑ (it) Filipponi, Introduzione alla fisica, 2005 (ISBN 8-808-07073-5)
↑ (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », The Physics Factbook. Consulté le 5 avril 2007
↑ Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », 2005, Technology Review. Consulté le 5 avril 2007
↑ Dimension de Hausdorff d'une corde quantique

[modifier] Bibliographie

Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), ISBN 0471922870
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co (septembre 1982), ISBN 0716711869 .
Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (août 1988), ISBN 0387966080
Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0120790610
Bernard Sapoval, Universalités et fractales, , Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664

[modifier] Liens internes

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur les fractales.

Benoît Mandelbrot (biographie, et historique de sa découverte)
Art fractal
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Fractale
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[modifier] Liens externes

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Portail de la géométrie

[Falconer-0] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 2003 (ISBN 0-470-84862-6), p. xxv

[1] Dimension fractale de l'attracteur de Feigenbaum

[2] (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (ISBN 0-387-98993-5)

[3] Dimension fractale de l'ensemble de Julia pour c = 1/4

[AMD-4] Dimension fractale de la fractale du mot de Fibonacci

[5] Dimension fractale de l'ensemble de Julia z²-1

[6] Dimension fractale de la fractale Béryl pour k=1

[7] Dimension fractale de la baderne d'Apollonius

[8] Dimension de la fractale d'inversion à 5 cercles

[9] Dimension fractale du lapin de Douady

[chang-10] Dimension fractale de la courbe du dragon

[wolfram-11] Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)[1]

[12] P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [2] [pdf]

[13] Dimension fractale de la la frontière de l'ensemble de Mandelbrot

[14] Dimension fractale de la frontière de certains ensembles de Julia

[15] Variantes 2D et 3D de la courbe de Lebesgue

[16] The fractal dimension of the Lorenz attractor, Mc Guinness (1983)

[17] M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [3] [pdf]

[18] Extension 3D de la courbe de Lebesgue

[19] Dimension fractale du chromosome humain n°22

[20] How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension, B. Mandelbrot

[lawler-21] Gregory F. Lawler, Oded Schramm, Wendelin Werner (2000). "The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3." 2.

[sapoval-22] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », 2001 (ISBN 2-080-81466-4)

[23] Feder, J., "Fractals,", Plenum Press, New York, (1988)

[24] (it) Filipponi, Introduzione alla fisica, 2005 (ISBN 8-808-07073-5)

[brocoli-25] (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », The Physics Factbook. Consulté le 5 avril 2007

[cerveau-26] Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », 2005, Technology Review. Consulté le 5 avril 2007

[27] Dimension de Hausdorff d'une corde quantique

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Liste de fractales par dimension de Hausdorff

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Sommaire

[modifier] Fractales déterministes

[modifier] δ < 1

[modifier] 1 <= δ < 2

[modifier] δ = 2

[modifier] 2 < δ < 3

[modifier] δ = 3

[modifier] Fractales aléatoires et naturelles

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

[modifier] Bibliographie

[modifier] Liens internes

[modifier] Liens externes

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