Homologie cellulaire

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En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul.

Définition[modifier | modifier le code]

Si X est un CW-complexe de n-squelette (en) Xn, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie (en) du complexe de chaînes cellulaires

\ldots\to H_{n+1}(X_{n+1},X_n)\to H_n(X_n,X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})\to\ldots

Le groupe

H_n(X_n,X_{n-1})

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule e_n^{\alpha}, soit \chi_n^\alpha:\partial e_n^\alpha\simeq S^{n-1}\to X_{n-1} l'application de recollement, et considérons les applications composées

\chi_n^{\alpha\beta}:S^{n-1}\to X_{n-1}\to X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^\beta)\simeq S^{n-1}

e_{n-1}^\beta est une n – 1-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta} à un point.

L'application bord

d_n:H_n(X_n,X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})

est alors donnée par la formule

d_n(e_n^\alpha)=\sum_\beta\deg(\chi_n^{\alpha\beta})e_{n-1}^\beta

\deg(\chi_n^{\alpha\beta}) est le degré de \chi_n^{\alpha\beta} et la somme est prise sur toutes les n – 1-cellules de X, considérées comme les générateurs de H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2}).

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

\forall k<n,\quad H_k(X)\simeq H_k(X_n).

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe ℂℙn a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

\forall k\in[0,n],\quad H_{2k}(\mathbb{CP}^n;\Z)\simeq\Z~\text{et}~H_{2k+1}(\mathbb{CP}^n)=0.

Généralisation[modifier | modifier le code]

La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en) est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

Caractéristique d'Euler[modifier | modifier le code]

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

\chi(X)=\sum_{j=0}^n(-1)^jc_j

cj est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

\chi(X)=\sum_{j=0}^n(-1)^j\text{ rang }H_j(X).

En effet, une chasse au diagramme à partir de la longue suite exacte d'homologie relative (en) du triplet (Xn, Xn –1, ∅)

\ldots\to H_i(X_{n-1},\varnothing)\to H_i(X_n,\varnothing)\to H_i(X_n,X_{n-1})\to\ldots

donne :


\sum_{i=0}^n(-1)^i\text{ rang }H_i(X_n,\varnothing)
=\sum_{i=0}^n(-1)^i\text{ rang }H_i(X_n, X_{n-1})+\sum_{i=0}^n(-1)^i\text{ rang }H_i(X_{n-1},\varnothing).

Le même calcul s'applique au triplet (Xn –1, Xn –2, ∅), etc. Par récurrence,

\sum_{i=0}^n(-1)^i\text{ rang }H_i(X_n,\varnothing)
=\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^j(-1)^i\text{ rang }H_i(X_j, X_{j-1}) 
=\sum_{j=0}^n(-1)^jc_j.

Références[modifier | modifier le code]