Représentation adjointe

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Tout groupe de Lie connexe G admet une représentation naturelle, appelée représentation adjointe dont l'introduction est liée à la définition de son algèbre de Lie. La forme bilinéaire associée est la forme de Killing.

À tout élément x de G est associé l'automorphisme intérieur \iota_x défini par : \iota_x(y)=xyx^{-1}. Cette application est un automorphisme de groupe de Lie. Sa différentielle en l'élément neutre est une application linéaire

ad(x)=(\iota_x)'(e):\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}

\mathfrak{g} désigne l'espace tangent de G en son élément neutre. D'autre part ad(x) est inversible, d'inverse ad(x-1) ; ad est donc à valeurs dans le groupe linéaire de \mathfrak{g}. L'application ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g}) est un morphisme de groupes de Lie : c'est la représentation adjointe.

ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g}).

La représentation adjointe sert notamment à définir une structure d'algèbre de Lie sur \mathfrak{g}. La différentielle de la représentation adjointe en l'élément neutre fournit une application différentiable :

Ad:\mathfrak{g}\rightarrow L(\mathfrak{g}).

On définit le crochet de Lie de deux vecteurs X et Y par :

[X,Y]=Ad(X)(Y)