Groupe spécial unitaire

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En mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E.

De manière générale, on peut définir le groupe spécial unitaire d'une forme sesquilinéaire hermitienne complexe non dégénérée, ou d'une forme sesquilinéaire hermitienne ou antihermitienne non dégénérée sur un espace vectoriel de dimension finie sur certains corps (commutatifs ou non) relativement à une involution.

Groupe spécial unitaire complexe SU(n)[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un cas particulier est le groupe spécial unitaire de degré n qui est le groupe des matrices unitaires à coefficients complexes de dimensions n×n et de déterminant 1, et que l’on note SU(n).

SU(n) est un groupe de Lie réel de dimension n²-1. Il est compact, simplement connexe et pour n>=2 simple et semi-simple.

L’algèbre de Lie correspondant à SU(n) est notée su(n). Il s’agit de l’algèbre des matrices complexes n×n antihermitiennes de trace nulle, le commutateur standard servant de crochet de Lie. C’est une algèbre réelle.

Groupe spécial linéaire complexe SU(2) et SU(4)[modifier | modifier le code]

Le groupe SU(2) est explicitement :

 \text{SU} (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbb{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}

Il est difféomorphe à la 3-sphère par l'application suivante :

 \begin{array}{rcl} \varphi : S^3\subset\mathbb{R}^4 & \to & \text{SU}(2) \\ (a,b,c,d) &\mapsto & \begin{pmatrix} a+ib &-c+id\\ c+id & a-ib\end{pmatrix}.\end{array}

Le difféomorphisme φ transmet la multiplication de SU(2) à S3 : cela donne la multiplication des quaternions. SU(2) est donc isomorphe aux quaternions unitaires (i.e. de norme égale à 1). Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homomorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3,R) de noyau {+I,–I}.

Les matrices suivantes forment une base de \mathfrak{su}(2) :

i\sigma_x = \begin{bmatrix}
0 & i \\
i & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_y = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_z = \begin{bmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \end{bmatrix}

(où i est l’unité « imaginaire »)

Ces matrices \sigma (dites « matrices de Pauli ») sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

Physique des particules et groupe spécial unitaire[modifier | modifier le code]

Le groupe spécial unitaire possède une importance particulière en physique des particules. Si le groupe unitaire U(1) est le groupe de jauge de l’électromagnétisme, SU(2) est le groupe associé à l’interaction faible ainsi qu’au spin et à l’isospin, et SU(3) celui de l’interaction forte (chromodynamique quantique). C’est par exemple grâce à la structure des représentations de SU(3) que Gell-Mann a conjecturé l’existence des quarks.