Théorème de Nagell-Lutz

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En mathématiques, le théorème de Nagell-Lutz est un résultat sur la géométrie diophantienne des courbes elliptiques.

Supposons que la courbe cubique C à coefficients entiers a, b, c définie par

y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c = f(x)\,

est non singulière.

Soit P = (x, y) un point rationnel de C, d'ordre fini pour la loi de groupe.

Alors x et y sont entiers. De plus, ou bien y = 0 (dans ce cas P est d'ordre 2), ou bien y2 divise le discriminant D du polynôme cubique f,

D = -4a^3c + a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 27c^2.

Ce résultat entraîne que la torsion du groupe des points rationnels de la courbe est effectivement calculable.

Ce théorème a été démontré indépendamment par le norvégien Trygve Nagell (en) en 1935 et la française Élisabeth Lutz en 1937.

Références[modifier | modifier le code]