Cohomologie de De Rham

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En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le théorème de De Rham affirme que la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle est la cohomologie à coefficients réels de l'espace topologique sous-jacent[1].

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient M une variété différentielle, et Ωp(M) l'ensemble des formes différentielles ω de degré p sur M.

Soit dp l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p :

\mathrm d^p : \Omega^p(M) \mapsto \Omega^{p+1}(M)

qui associe à la forme différentielle ω de degré p sa dérivée extérieure dω, forme différentielle de degré p + 1.

On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre dpω où p est le degré de ω.

Formes fermées, formes exactes[modifier | modifier le code]

Lorsque dω = 0, on dit que la forme différentielle ω est fermée.

Lorsque ω = dα, on dit que la forme différentielle ω est exacte.

Théorie locale (Lemme de Poincaré)[modifier | modifier le code]

On a pour tout p la relation dp ∘ dp – 1 = 0. On en déduit le :

Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Plus précisément pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.

En effet si M ⊂ ℝn est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.

Théorie globale[modifier | modifier le code]

Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan ℝ2 privé de l'origine, la forme \tfrac{x\mathrm dy-y\mathrm dx}{x^2+y^2} est fermée, mais non exacte.

Dans le cas général, le pe groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.

Notations[modifier | modifier le code]

  • Zp(M) l'espace des p-formes fermées.
  • Bp(M) le sous-espace des p-formes exactes.

Définition : groupes de cohomologie (de De Rham)[modifier | modifier le code]

On définit le pe groupe de cohomologie de De Rham Hp(M) comme étant l'espace vectoriel quotient de Zp(M) par Bp(M) :

 H^p(M) \ = \ Z^p(M) \, / \, B^p(M)

c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes. Si M est compacte ces espaces sont de dimension finie. La dimension de  H^p(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté b_p(M).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • H0(M) ≃ ℝc, où c désigne le nombre de composantes connexes de M.
  • Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hn(M) est de dimension 1.

Un isomorphisme explicite est donné par l'intégration : l'application


\omega \mapsto \int_M\omega

est nulle sur les formes exactes d'après le théorème de Stokes. Elle passe donc au quotient en une application de H^n(M) dans R, et on démontre [2] que l'on obtient ainsi un isomorphisme.



  • Si M n'est pas orientable ou n'est pas compacte (les autres hypothèses restant les mêmes), Hn(M) = 0.
  • Hk(Sn)=0 pour 0 < k < n.

Théorème de Hodge-de Rham[modifier | modifier le code]

Un élément de H^p(M) est une classe d'équivalence de formes différentielles de degré p, qui n'admet pas a priori de représentant privilégié. La situation change si M est muni d'une métrique riemannienne g. On peut alors définir un opérateur de divergence

 \delta^p_g :\Omega^p(M)\rightarrow \Omega^{p-1}(M)

Soit alors

 \mathcal{H}^p(M)=\{\omega\in \Omega^p(M), \, d^p\omega=0\ \mathrm{et}\,
\delta^p_g\omega =0\}

Ces formes sont dites harmoniques.

Le théorème de Hodge-de Rham [3] assure que si M est compacte  \mathcal{H}^p(M) est isomorphe à H^p(M).


Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si G est un groupe de Lie compact muni d'une métrique riemannienne bi-invariante,

les formes harmoniques sont les formes différentielles bi-invariantes. En particulier,  b_p(T^n)={n \choose p}.

  • Soit S une surface de Riemann compacte.

La donnée de la structure complexe équivaut à celle d'une classe de métriques riemanniennes conformes, et les formes harmoniques de degré 1 ne dépendent que de la structure conforme. Ce sont les parties réelles des formes différentielles holomorphes de degré 1. Ainsi b_p(S)=2\gamma\gamma est le genre de S.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Henri Cartan, « Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables », dans Œuvres - Collected Works, vol. III, Springer,‎ 1979 (ISBN 978-3-54009189-9, lire en ligne), p. 1448-1458, « 1. Le théorème de De Rham » : plus précisément, la cohomologie de De Rham est duale de l'homologie singulière à coefficients réels, de façon compatible – via la dualité de Poincaré – avec les deux structures multiplicatives.
  2. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, ch. 7
  3. de Rham, 1973

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Ouvrages de mathématiques[modifier | modifier le code]

Ouvrages de physique théorique[modifier | modifier le code]