Dimension fractale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Mesure de la dimension fractale de la côte de Grande-Bretagne

En géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.

Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré, il est donc essentiel de mentionner la définition utilisée lorsqu'on valorise la dimension fractale d'un ensemble. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff-Besicovitch, la dimension de Minkowski (ou "box-counting"), et la dimension de corrélation.

Dans le cas d'ensembles fractals simples (auto-similarité stricte, notamment) on conjecture[1] que ces définitions donnent des résultats identiques.

Par abus de langage, on trouve parfois le terme "dimension fractale" pour désigner des grandeurs non géométriques telles que l'exposant de lois de puissance dans des lois de distribution statistiques ou des séries temporelles, invariantes d'échelle, notamment en finance[2].

Approche didactique[modifier | modifier le code]

Les trois dimensions entières

Les figures géométriques usuelles ont une dimension entière :

  • La dimension D d'un segment, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Sa longueur est multipliée par 2=2^1 lorsque sa taille double.
  • La dimension D d'une surface simple et bornée est de 2. Elle a une aire finie et cette aire est multipliée par 4=2^2 lorsque sa taille double.
  • La dimension D d'un volume simple et borné dans l'espace est de 3. Il a un volume fini et ce volume est multiplié par 8=2^3 lorsque sa taille double.

Si D est la dimension d'un objet, alors la mesure de cet objet est multipliée par n^\mathrm{D} lorsque la taille de cet objet est multipliée par n.

Courbe de Koch

Or, par exemple, la longueur de la courbe de Koch est multipliée par 4 lorsque sa taille triple (En effet, cette courbe est précisément définie comme étant constituée de quatre copies d'elle-même, trois fois plus petites). Puisque 4 = 3^{1,26}, on peut considérer intuitivement qu'il s'agit d'un objet de dimension D = 1,26. Il ne s'agit plus d'une simple courbe unidimensionnelle, ni d'une surface, elle se situe « entre les deux ». Cette « dimension fractale », non entière, est caractéristique des ensembles fractals.

Les principales définitions[modifier | modifier le code]

Les définitions suivantes, les plus couramment rencontrées, abondent dans la littérature (voir les articles détaillés ou les références citées en fin d'article : Mandelbrot ou Falconer[3]).

Définition Applicabilité Formule Commentaires
Dimension de Hausdorff la plus rigoureuse, elle est peu aisée à mettre en œuvre. D_H=\inf\left\{s,H^s(X)=0\right\}=\sup\left\{s,H^s(X)=\infty\right\}H^s(X) est la mesure de Hausdorff de l'ensemble Elle s'appuie sur une mesure, la mesure de Hausdorff. C'est la valeur critique de s pour laquelle la valeur de la mesure H^s(X) passe de 0 à l'infini.
Dimension d'homothétie (1) Limitée aux ensembles à homothéties internes D_h est solution de \sum_{k=1}^N r_k^{D_h}=1 où N est le nombre d'homothéties et r_k le rapport de l'homothétie de rang k. Dans le cas de rapports identiques, elle admet une solution analytique simple (voir ci-dessous) C'est la traduction la plus simple simple de la dimension de Hausdorff, applicable aux seuls ensembles fractals a homothétie interne. Attention, cette formule n'est pas applicable dans le cas de transformations affines ou non-linéaires.
Dimension d'homothétie (2) Limitée aux ensembles à homothéties internes de même rapport D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})} où N est le nombre d'homothéties et r le rapport d'homothétie C'est un cas particulier de solution pour l'équation générale ci-dessus. La dimension d'homothétie vaut alors le quotient logarithmique entre le nombre d'homothéties internes de l'ensemble, sur l'inverse du rapport d'homothétie.
Dimension de Minkowski–Bouligand ou "Box-counting" Tout ensemble D_{box}= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}N(ε) est un nombre de sous-ensembles de diamètre au plus ε nécessaires pour recouvrir l'ensemble. La plus courante et la plus simple pour mesurer numériquement la dimension d'une fractale. Elle prend pour base la couverture de l'ensemble fractal par des ensembles de taille décroissants. S'appuie sur une notion de comptage et non de mesure, ce qui la rend moins universelle. Peut, alors, être supérieure à la dimension de Hausdorff, mais jamais inférieure.

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Ces définitions sont plus rares dans la littérature. Elles sont utilisées dans des contextes spécifiques (théorie du chaos, par exemple).

Définition Applicabilité Formule Commentaires
Dimension de corrélation[4] Appliquée aux ensembles de points (attracteurs notamment) D_c = \lim_{\epsilon \rightarrow 0, M \rightarrow \infty} \frac{\log (g_\epsilon / M^2)}{\log \epsilon}M est le nombre de points utilisés pour générer la fractale et gε le nombre de paires de points dont la distance mutuelle est inférieure à ε. Dimension de Rényi d'ordre 2. Principalement utilisée en théorie du chaos pour estimer la dimension fractale d'attracteurs, représentés par un ensemble de points calculés. Elle considère le nombre de paires de points dont la distance mutuelle est inférieure à une distance donnée. Elle a pour avantage de permettre des calculs rapides et souvent en accord avec les autres méthodes de calcul.
Dimension d'information [5] Appliquée aux ensembles de points (attracteurs notamment) D_I = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{ \sum_{i=1}^N P_i\log{P_i}}{\log\frac{1}{\epsilon}} où N est le nombre d'hypercubes de côté \epsilon qui partagent l'espace et P_i la probabilité pour un point de tomber dans le cube de d'index i Dimension de Rényi d'ordre 1. La dimension d'information considère l'information nécessaire pour décrire les cases occupées par les points de l'attracteur, à mesure que la taille de ces cases diminue.
Dimension de Rényi[6],[7] Appliquée aux ensembles de points (attracteurs notamment) D_\alpha = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1-\alpha}\log(\sum_{i} p_i^\alpha)}{\log\frac{1}{\epsilon}} où le numérateur est la limite de l'entropie de Rényi d'ordre α Adapté à la mesure d'attracteurs. La dimension de Minkowski, la dimension d'information et la dimension de corrélation peuvent être vus comme des cas particuliers de dimension de Rényi d'ordre α. La dimension de Rényi pour α=0 traite toutes les parties du support de l'attracteur de manière identique. Pour de plus grandes valeur de α, un poids plus important est donné aux parties de l'attracteur visitées le plus fréquemment. Un attracteur pour lequel les dimensions de Rényi ne sont pas toutes égales est considéré comme multifractal, ou possède une structure multifractale.
Dimension "packing"[3] Tout ensemble .... Duale de la dimension de Hausdorff. Elle considère le maximum de boules disjointes dont le centre appartient à l'ensemble fractal et non le minimum de boules couvrant la fractale.
Dimension "divider"[3] Appliquée aux courbes sans auto-intersection D_d = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{ \log N_\epsilon}{\log\frac{1}{\epsilon}} ou N_\epsilon est le plus grand nombre de points de la courbe successivement équidistants d'une longueur donnée (x_k tels que |x_{k+1}-x_k|=\epsilon) Considère l'application répétée d'une unité de mesure de longueur de plus en plus petite (Cf illustration en tête de l'article). Utilisée par Lewis Fry Richardson pour mesurer la dimension de la côte de Grande-Bretagne.

Relations entre dimensions[modifier | modifier le code]

On montre, dans le cas général, que : D_t \le D_c \le D_i \le D_H \le D_{\textrm{box}} \le D_d [4],[8],[3] où :

D_t est la dimension topologique de l'ensemble
D_c est la dimension de corrélation de l'ensemble (Rényi d'ordre 2)
D_i est la dimension d'information de l'ensemble (Rényi d'ordre 1)
D_H est la dimension de Hausdorff de l'ensemble (ou dimension d'homothétie)
D_{\textrm{box}} est la dimension de Minkowski de l'ensemble
D_d est la dimension "divider" de l'ensemble

En cas d'autosimilarité stricte, on conjecture (Schroeder,1991) que D_H et D_{box} sont égales.

Pour un attracteur, si chaque élément de l'attracteur a une probabilité identique d'être visitée, alors D_i et D_{\textrm{box}} sont égales[5].

Applications et limites[modifier | modifier le code]

Le chou romanesco, fractal à taille visible.

La mesure de la dimension fractale trouve des applications dans de nombreux domaines de recherche tels que la physique[9], l'analyse d'image[10],[11], l'acoustique[12] l'analyse des zéros de la fonction de Riemann[13] ou les processus electrochimiques[14].

L'estimation de la dimension fractale d'objets réels est très sensible au bruit et à la quantité de données disponible. On doit donc être prudent concernant la valeur obtenue.

Les définitions de dimension fractale présentées dans la sections précédentes s'entendent à la limite, lorsque \epsilon tend vers zéro. Or cette limite n'est jamais atteinte dans le monde physique à cause des limites moléculaire ou quantique. Pour cette raison il n'existe pas d'objet physique fractal au sens strict[15].

La dimension fractale n'est, en pratique, calculée que sur un intervalle défini, généralement pour des valeurs de \epsilon visibles (ou significatives vis-à-vis des propriétés que l'on souhaite étudier). On définira ainsi une dimension fractale apparente ou approximative.

La mesure d'une telle dimension fractale apparente utilise souvent la méthode de Minkowski-Bouligand ou méthode "box-counting" par comptage de boîtes. Elle consiste à

  • mesurer les valeurs de N(\epsilon) pour différentes valeurs de \epsilon dans l'intervalle choisi,
  • puis porter ces valeurs sur un graphe donnant log(N(\epsilon)) en fonction de log(1/\epsilon). Si la figure est auto-similaire, ces points seront alignés,
  • enfin déterminer la pente de cette droite, ce qui donnera la valeur de la dimension fractale recherchée.
Une courbe de Koch paradoxale. Sa dimension fractale ne traduit pas sa rugosité apparente.

Cette restriction peut également concerner des constructions purement géométriques. À titre de contre-exemple, dans l'illustration ci-contre, on a défini une figure fractale paradoxale ayant l'aspect de la courbe de Koch mais ayant la dimension fractale de l'ensemble de Cantor: \log(2)/\log(3). Elle est construite à la manière de Koch sur les premières itérations, celles concernant des intervalles de longueur visibles, mais continue à l'infini avec la construction de l'ensemble triadique de Cantor. Si l'on s'en tient à l'aspect visible, on peut considérer sa dimension fractale apparente, qui vaut celle de la courbe de Koch : \log(4)/\log(3), sur les intervalles de \epsilon visibles.

Cet exemple illustre par ailleurs que dimension fractale et "rugosité" apparente, concept popularisé par Mandelbrot, ne vont pas toujours de pair.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) Manferd Robert Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise, New York, W H Freeman & Co (Sd),‎ 1991, 6e éd. (ISBN 978-0-7167-2136-9, LCCN 90036763)
  2. Dimension fractale d'un index boursier
  3. a, b, c et d (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Chichester, John Wiley & Sons, Ltd.,‎ 1990 & 2003, 2e éd., poche (ISBN 978-0-470-84862-3, LCCN 2004271361)
  4. a et b Dimension de corrélation sur Mathworld
  5. a et b Dimension d'information sur Mathworld
  6. Dimension de Renyi sur Scholarpedia
  7. Dimension de Rényi sur Mathworld
  8. Dimension de Minkowski sur Mathworld
  9. (en) B. Dubuc, J. F. Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot, and S. W. Zucker, « Evaluating the fractal dimension of profiles », Phys. Rev. A, vol. 39,‎ 1989, p. 1500–12 (DOI 10.1103/PhysRevA.39.1500)
  10. (en) P. Soille and J.-F. Rivest, « On the validity of fractal dimension measurements in image analysis », Journal of Visual Communication and Image Representation, vol. 7,‎ 1996, p. 217–229 (DOI 10.1006/jvci.1996.0020, lire en ligne)
  11. (en) Tolle, C. R., McJunkin, T. R., and Gorisch, D. J., « Suboptimal Minimum Cluster Volume Cover-Based Method for Measuring Fractal Dimension », IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 25, no 1,‎ janvier 2003, p. 32–41 (DOI 10.1109/TPAMI.2003.1159944)
  12. (en) P. Maragos and A. Potamianos, « Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition », Journal of the Acoustical Society of America, vol. 105, no 3,‎ 1999, p. 1925 (PMID 10089613, DOI 10.1121/1.426738)
  13. (en) O. Shanker, « Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions », J. Phys. A: Math. Gen., vol. 39,‎ 2006, p. 13983–97 (DOI 10.1088/0305-4470/39/45/008)
  14. (en) Ali Eftekhari, « Fractal Dimension of Electrochemical Reactions », Journal of the Electrochemical Society, vol. 151, no 9,‎ 2004, E291–6 (DOI 10.1149/1.1773583)
  15. Pas plus qu'il n'existe d'objet physique strictement circulaire ou carré. Cette réserve n'est pas limitée à la géométrie fractale

Références[modifier | modifier le code]

  • Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, Flammarion,‎ 1973
  • Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals, survol du langage fractal, Flammarion,‎ 1975, 1984, 1989, 1995
  • (en) Benoît Mandelbrot, « How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. », Science, New Series, vol. 156, no 3775,‎ 1967, p. 636-638 (DOI 10.1126/science.156.3775.636)
  • (en) Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Chichester, John Wiley & Sons,‎ 1990 & 2003, 2e éd., poche (ISBN 978-0-470-84862-3, LCCN 2004271361)

Liens externes[modifier | modifier le code]