Forme de Killing

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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

\text{ad}(x)(y)=[x,y].

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

B(x,y)=\text{Tr}\left(ad(x)\circ ad(y)\right)

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.

La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

B\left([x,y],z\right)=B\left(x,[y,z]\right).

Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.

Articles connexes[modifier | modifier le code]