Ensemble de Mandelbrot

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Représentation de l'ensemble de Mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot (en noir)
Zoom sur une partie de la représentation
Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.

L'ensemble des voleurs Mandelbrot a été découvert depuis longtemps, et nous avons tout sauvegardé, page Utiisateur....

Julia Roberts et D F n'y avaient pas pensé

Vous l'observerez beaucoup mieux en ayant le même rendu que sur le premier fichier



\begin{cases}
z_0=0\\
z_{n+1}=z_n^2+c
\end{cases}

est bornée.







En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'Adrien Douady et de John H. Hubbard[1], qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot[2] avant la première guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont l'œuvre d'Adrien Douady, en hommage aux représentations qu'en a réalisées Benoît Mandelbrot alors qu'il travaillait chez IBM. Cet ensemble permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent ; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

Historique[modifier | modifier le code]

L'ensemble de Mandelbrot tire ses origines de la dynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du XXe siècle.

La première représentation de cet ensemble apparaît en 1978 dans un article de Robert Brooks (en) et Peter Matelski[3].

Le 1er mars 1980, au centre Thomas J. Watson (en) de recherche IBM (dans l'État de New York), Benoit Mandelbrot obtient pour la première fois, une visualisation par ordinateur de cet ensemble[4]. Mandelbrot étudie l'espace des paramètres des polynômes quadratiques complexes dans un article publié en 1980[5].

En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'Adrien Douady et de John H. Hubbard[6], qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot.

En 1985, les mathématiciens Heinz-Otto Peitgen (en) et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité et qui frappent les esprits[7],[8],[9].

Dans le numéro d'août 1985 du magazine Scientific American, l'ensemble de Mandelbrot est présenté au grand public comme « l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert » et présente l'algorithme qui permet de le tracer soi-même. La couverture de ce numéro reprend une image créée par Peitgen[10],[11].

Les travaux de Douady et Hubbard coïncidaient avec un intérêt considérable pour la dynamique complexe et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été le centre d'attention de ce domaine depuis. Parmi les mathématiciens qui apportèrent une contribution significative à l'étude de cet ensemble, il faut citer Tan Lei (de), Mikhail Lyubich (de), Curtis T. McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura (en) et Jean-Christophe Yoccoz.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

La théorie générale, développée par Pierre Fatou et Gaston Julia au début du XXe siècle, associe à toute fonction (suffisamment régulière) f(z, c) (à arguments et valeurs complexes) les ensembles de Julia Jc, définis (pour un c fixé) comme la frontière de l'ensemble des a complexes tels que la suite définie par z0 = a et zn+1 = f(zn, c) reste bornée (en module) ; pour la fonction particulière f(z, c) = z2 + c, on définit l'ensemble de Mandelbrot M comme l'ensemble des c pour lequel Jc est connexe. Fatou et Julia ont démontré[12] que cette définition est équivalente à celle donnée dans l'introduction, c'est-à-dire que c appartient à M si et seulement si la suite (zn) définie par z0 = 0 et zn+1 = zn2 + c reste bornée (en module) ; restant dans les réels, il s'agit donc des points de coordonnées (a,b) tels que les deux suites (xn) et (yn) définies par la récurrence x0 = y0 = 0 et xn+1 = xn2yn2 + a ; yn+1 = 2xnyn + b restent bornées.

Barrière du module égal à 2[modifier | modifier le code]

Si la suite des modules des zn dépasse 2 pour un certain indice alors, cette suite est croissante à partir de cet indice, et elle tend vers l'infini.

Pour que la suite (zn) soit bornée, il suffit donc qu'elle ne tende pas vers l'infini, et il faut qu'elle reste bornée par 2 (en module). Ceci fournit deux définitions de l'ensemble de Mandelbrot équivalentes à celle donnée en introduction, et prouve de plus que cet ensemble est inclus dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 2.

Géométrie élémentaire[modifier | modifier le code]

Géométrie élémentaire

L'ensemble M de Mandelbrot est compact, symétrique par rapport à l'axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.

Son intersection avec l'axe réel est le segment [–2, 1/4].

Son aire est estimée autour de 1,50659177 ± 0,00000008[13].

Son centre de gravité est estimé à la position réelle –0,286 768 3 ± 0,000 000 1[13].

La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre \scriptstyle{A\left (\frac{1}{4},0\right )} et d'équation polaire \scriptstyle{ \rho(\theta) = \frac{1}{2}\left (1 - \cos \theta \right ).} On peut aussi citer le cercle de centre \scriptstyle{B(-1;0)} et de rayon \scriptstyle{1/4}.

Connexité[modifier | modifier le code]

Douady et Hubbard ont montré, en 1985[14], que l'ensemble était connexe. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans du disque unité.

On conjecture que l'ensemble de Mandelbrot est localement connexe[15],[16],[17].

Autosimilarité[modifier | modifier le code]

Article connexe : Autosimilarité.
Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011 + 0,9563i.
Autosimilarité près du point de Feigenbaum -1,401155
Des copies de l'ensemble dans l'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est autosimilaire dans le voisinage des points de Misiurewicz (en). Ces points sont denses sur toute la frontière de l'ensemble. On conjecture qu'il est également autosimilaire, à la limite, autour des points de Feigenbaum (ex : −1,401 155 ou −0,152 8 + 1,039 7 i)[18].

Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences[19].

L'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement autosimilaire.

Universalité[modifier | modifier le code]

L'ensemble des points ne convergeant pas, pour une fonction cubique, par la méthode de Newton.

L'ensemble de Mandelbrot M a un caractère universel pour de nombreuses fonctions holomorphes[19]. Des copies de M sont visibles sur les frontières de leurs bassins d'attraction, c'est-à-dire des ensembles des c pour lesquels les itérés f(f(…f(z)))) convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec des fonctions transcendantes :

  • z \mapsto \cos(z)+c (fonction cosinus)
  • z \mapsto{\rm e}^{-z^2}+c (fonction de Gauss)

On retrouve également M lors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles que z\mapsto z^3+(\lambda-1)z-\lambda, par la méthode de Newton. L'ensemble des points \lambda ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme de M.

Là encore, l'autosimilarité n'est pas stricte.

Dimension de Hausdorff[modifier | modifier le code]

La dimension de Hausdorff de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura[20]. On ne sait pas si cette frontière a une mesure de Lebesgue (surface) positive.

Lien avec l'équation logistique[modifier | modifier le code]

Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et le diagramme de bifurcation de l'équation logistique

Les paramètres de M, dans l'intervalle réel [–2, 1/4], peuvent être mis en correspondance bijective avec ceux de l'équation logistique : z\mapsto \lambda z(1-z),\quad \lambda\in[1,4], la correspondance étant donnée par : c = \frac\lambda2\left(1-\frac\lambda2\right).

Lien avec les ensembles de Julia[modifier | modifier le code]

L'ensemble de Mandelbrot M peut être défini comme l'ensemble des complexes c pour lesquels l'ensemble de Julia correspondant, Jc, est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entre Jc et M au voisinage de c, lorsque c appartient à la frontière de M[21].

Bourgeons, antennes et périodicités[modifier | modifier le code]

Bourgeons et périodicités

L'ensemble de Mandelbrot fait apparaître nombre de structures en forme de bourgeons entourant une structure principale en forme de cardioïde.

  • La cardioïde est l'ensemble des points c qui convergent vers un point fixe (période 1). Ce sont les points de la forme \scriptstyle{ c = \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)} pour tout \scriptstyle{\mu} appartenant au disque unité.
  • Le bourgeon principal, à gauche de la cardioïde, lui est attaché au point c = –3/4. Il s'agit d'un disque centré en c = –1 et de rayon 1/4. Il s'agit de l'ensemble des points paramètres qui, à la limite, convergent vers un cycle de période 2.
  • Les autres bourgeons tangents à la cardioïde sont les points admettant d'autres périodicités. Pour tout nombre rationnel p/q, avec p et q premiers entre eux, Il existe un bourgeon presque circulaire tangent à la cardioïde au point \scriptstyle{ c_{p/q} = \frac{e^{2\pi ip/q}}2\left(1-\frac{e^{2\pi ip/q}}2\right)}. Chacun de ces bourgeons est appelé « bourgeon p/q ». Il s'agit de l'ensemble des points paramètres convergeant vers un cycle de période q.
  • Enfin, chaque bourgeon porte lui-même des bourgeons, représentatifs d'un périodicité différente, selon le même schéma. Par exemple, le bourgeon à gauche du grand bourgeon de période 2 a une périodicité de période 4. Le bourgeon immédiatement à sa gauche est de période 8, puis 16, etc., suivant ainsi le motif de doublement de période du diagramme de bifurcation de l'équation logistique.
Antennes et périodicités

Les bourgeons sont également surmontés de filaments en forme d'antenne. Le nombre d'antennes est directement lié à la périodicité du bourgeon. Ainsi, compter le nombre d'antennes permet de déterminer la périodicité du bourgeon.

Dessiner l'ensemble[modifier | modifier le code]

On a vu plus haut que dès que le module d'un zn est strictement plus grand que 2, la suite diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à 2 et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à 2). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées des points c pour lesquels la suite (zn) tend « plus rapidement » vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.

Un zoom commenté[modifier | modifier le code]

Cliquer sur cette image pour lancer l'animation

L'ensemble de Mandelbrot doit beaucoup sa popularité à la variété et la beauté de ses structures et à la profondeur infinie de ses détails, mais aussi à la possibilité de l'explorer soi-même à l'aide des nombreux logiciels aujourd'hui disponibles.

La séquence d'exploration commentée ci-dessous est un zoom profond vers la valeur de c = –0,743643887037151 + 0,13182590420533i, à travers nombre de motifs caractéristiques. Le rapport de grossissement entre la dernière et la première image est d'environ 60 milliards. La séquence entière (et sa suite jusqu'à un grossissement d'environ 1030) peut être visionnée sur l'animation ci-contre.

Étape Description
Première étape - description ci-contre L'ensemble de Mandelbrot initial. Si la dernière image était en taille réelle, cet ensemble de Mandelbrot aurait une taille de 3 millions de kilomètres et sa frontière présenterait une quantité astronomique de structures fractales.[pas clair]

Nous allons zoomer sur la vallée située entre la cardioïde et le bourgeon principal.

Seconde étape - description ci-contre Cette vallée a été baptisée « vallée des hippocampes ».
Troisième étape - description ci-contre À gauche, des spirales doubles, à droite les « hippocampes ».

Nous zoomons sur l'un d'eux.

Quatrième étape - description ci-contre Un « hippocampe », tête en bas. Cet hippocampe est composé de 25 « antennes » consistant en 2 groupes de 12 et un filament relié à la cardioïde. Nous en déduisons que le bourgeon qui le porte a une périodicité de 25. Le point de rencontre de ces antennes est un « point de Misiurewicz (en) ». Sur la plus longue antenne, celle qui mène à la « queue » de l'hippocampe, on reconnaît une copie réduite de l'ensemble de Mandelbrot, appelée aussi « satellite ».

Nous zoomons maintenant sur la queue de l'hippocampe.

Cinquième étape - description ci-contre L'extrémité de la queue, enroulée en spirale, est aussi un point de Misiurewicz.

Nous zoomons sur le haut de l'image.

Sixième étape - description ci-contre Une section de la queue. Cette structure complexe est composée d'un seul et unique chemin qui mène jusqu'à l'extrémité de la queue. L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble simplement connexe, ce qui signifie qu'il n'y a ni boucles, ni ilots.

Zoomons vers le centre de l'image.

Septième étape - description ci-contre Un deuxième « satellite » (ou « minibrot ») apparait, au cœur de ce carrefour. Un exemple d'autosimilarité : La frontière de l'ensemble de Mandelbrot contient une infinité de copies de lui-même. Quel que soit le lieu on l'on zoome on en trouvera toujours au moins un. Les deux spirales sont le début d'une série de couronnes concentriques, avec le satellite en son centre.

Nous zoomons vers ce satellite.

Huitième étape - description ci-contre Chacune de ces couronnes est composée de spirales similaires. Leur nombre s'accroit en puissances de 2, un phénomène typique de l'environnement des satellites. Le chemin vers l'extrémité de la queue entre dans le satellite par le point d'inflexion de la cardioïde et ressort par l'extrémité son antenne.
Neuvième étape - description ci-contre L'antenne du satellite. On peut distinguer plusieurs satellites du deuxième ordre.

Zoomons en haut à droite de l'image.

Dixième étape - description ci-contre La « vallée des hippocampes » du satellite. Toutes les structures déjà rencontrées précédemment réapparaissent.
Onzième étape - description ci-contre Spirales doubles et hippocampes. Contrairement à la première vallée, celle-ci est peuplée, en plus, de légères structures spirales. Dans un satellite d'ordre n cohabitent n+1 types de structures différentes. Pour ce satellite d'ordre 1 coexistent donc 2 types de structures différentes.

Nous zoomons sur une double spirale, à gauche de la vallée.

Douzième étape - description ci-contre Double-spirale avec satellites du deuxième ordre.

Nous zoomons, maintenant, sur une des structures dentelées blanches en haut à droite de l'image.

Treizième étape - description ci-contre Ces structures légères rappellent celles de certains ensembles de Julia. Là encore, ce motif très torturé n'est constitué que d'un seul filament.

Nous zoomons sur le « double-crochet » que l'on distingue à droite de l'image.

Quatorzième étape - description ci-contre Ce double crochet rappelle, encore une fois, la forme en spirale de la queue d'un hippocampe.

Nous zoomons vers le motif central.

Quinzième étape - description ci-contre Des îlots apparaissent, à la manière d'une poussière de Cantor. La forme générale est celle d'un ensemble de Julia Jc. Toutefois, contrairement à un ensemble de Julia, ces points sont tous connectés, car nous sommes toujours dans l'ensemble de Mandelbrot. La forme générale de cet ensemble n'est pas celle de l'ensemble de Julia associé à cette position. Il s'agit de l'ensemble de Julia que nous aurions obtenu si nous avions sélectionné, au début de notre exploration, un point à proximité d'une double spirale au lieu d'un hippocampe.

Ces structures sont elles-mêmes connectées à une structure centrale que nous pourrions découvrir si nous poussions encore plus loin le grossissement. En théorie, le grossissement pourrait ainsi être infini, et faire découvrir sans cesse de nouvelles structures. Pour en voir davantage, cliquer sur l'animation en haut à droite de cette section.

Généralisations et variantes[modifier | modifier le code]

Animation de l'ensemble pour n allant de 2 à 5
Animation de l'ensemble pour d allant de 2 à 5 (voir la formule de généralisation)
Visualisation de l'ensemble de Mandelbrot par la méthode Buddhabrot
Méthode Buddhabrot

L'ensemble de Mandelbrot peut être généralisé des puissances d supérieures à 2 pour zzd + c. Ces généralisations sont parfois appelées « multibrot », mais pour certains auteurs (comme McMullen), le terme « ensemble de Mandelbrot » doit également désigner ces généralisations.

En 3 dimensions, il n'existe pas de structure de corps comparable à celle des nombres complexes, donc pas d'extension « naturelle ». Notons toutefois l'extension de Daniel White (2009) baptisée « Mandelbulb[22]. »

En 4 dimensions, l'extension naturelle à l'ensemble des quaternions a été étudiée par JAR Holbmok en 1987[23].

Une modification de la méthode de traçage, proposée par Melinda Green en 1993, mène à une variante baptisée « Buddhabrot »[24]. Il présente la densité des points visités par les orbites de valeurs[Quoi ?] de c qui divergent, donc choisies à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot.

Logiciels générateurs de fractales[modifier | modifier le code]

Plan tiré d'une vidéo d'un agrandissement progressif de l'ensemble de Mandelbrot
Vue fixe d'une vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Adrien Douady et John H. Hubbard, Étude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathématiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  2. Voir à ce sujet : Jean-Pierre Louvet les fractales sur le site de futura-science ; en réalité, la première description précise de l'ensemble semble due à Brooks et Matelski (voir la section historique).
  3. (en) Robert Brooks et Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in « Riemann Surfaces and Related Topics », ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71 (ISBN 0-691-08264-2).
  4. (en) R. P. Taylor et J. C. Sprott, « Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers », Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, vol. 12, no 1,‎ 2008 (lire en ligne).
  5. (en) Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of z\mapsto\lambda z(1-z) for complex \lambda, z, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
  6. Adrien Douady et John H. Hubbard, Étude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathématiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  7. (en) Heinz-Otto Peitgen, Richter Peter, The Beauty of Fractals, Heidelberg, Springer-Verlag,‎ 1986 (ISBN 0-387-15851-0).
  8. Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe.
  9. (en) James Gleick, Chaos: Making a New Science, London, Cardinal,‎ 1987, p. 229.
  10. (en) A. K. Dewdney (en), « Computer recreations : A computer microscope zooms in for a close look at the most complicated object in mathematics », Scientific American,‎ 1985, p. 16-24 (lire en ligne).
  11. Fractals: The Patterns of Chaos. John Briggs. 1992. p. 80.
  12. Cf. (en) A. Douady et J. Hubbard, « On the dynamics of polynomial-like mappings », ASENS (en), vol. 18,‎ 1985, p. 287-343 (lire en ligne) et (en) Paul Blanchard, « Complex analytic dynamics on the Riemann sphere », Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), vol. 11, no 1,‎ 1984, p. 1-246 (lire en ligne).
  13. a et b Mrob.com
  14. Douady et Hubbard 1985.
  15. http://smf4.emath.fr/en/InfoDiverses/Carnet/Douady/DepecheAFP.html
  16. http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf
  17. « C.V. de Jean-Christophe Yoccoz », sur Académie des sciences.
  18. (en) J. Milnor, « Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set », dans Computers in Geometry and Topology, M. Tangora (editeur), Dekker, New York, p. 211-257.
  19. a et b (en) Curtis T. McMullen, « The Mandelbrot set is universal », 1998, abstract
  20. (en) Mitsuhiro Shishikura, The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets, Ann. of Math. 147 (1998) p. 225-267. (publication originale de 1991 Stony Brook IMS Preprint, également disponible à arXiv:math.DS/9201282.)
  21. Lei.pdf Tan Lei, « Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets », Communications in Mathematical Physics 134 (1990), pp. 587-617.
  22. variantes en 3D
  23. JAR Holbmok, Quaternionic Fatou-Julia sets, Ann. sc. math. Quebec, 1987
  24. Buddhabrot fractal method

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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