Suite exacte

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l'image de l'un est égal au noyau du suivant.

Définition

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient $\left(G_i\right)_{i\in\N}$ des groupes et $f_i:G_i\rightarrow G_{i+1}$ des morphismes de groupes. On dit que la suite :

$G_0 \xrightarrow{f_0} G_1 \xrightarrow{f_1} \cdots \xrightarrow{f_{i-1}} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}} \cdots$

est exacte si pour tout entier naturel $i$ on a $\mathrm{Im}(f_{i}) = \mathrm{Ker}(f_{i+1})$.

On peut aussi définir des suites exactes pour d'autres structures et morphismes de ces structures, par exemple des suites exactes d'anneaux, d'algèbres…

Exemples importants

Dans la suite, 1 dénote le groupe trivial (si tous les groupes sont supposés abéliens, on le notera 0).

• La suite $1 \rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2$ est exacte si et seulement si $f$ est injective.
• La suite $G_2 \xrightarrow{g} G_3 \rightarrow 1$ est exacte si et seulement si $g$ est surjective.
• La suite $1 \rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 \rightarrow 1$ est exacte si et seulement si $f$ est un isomorphisme.

Suites exactes courtes

L'un des exemples les plus importants de suite exacte est celui de suite exacte courte, c'est-à-dire de suite exacte de la forme

$1 \rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 \xrightarrow{g} G_3 \rightarrow 1$

Une suite exacte courte est scindée à droite s'il existe un morphisme $s$ de $G_3$ dans $G_2$ tel que $g\circ s=id_{G_3}$. On dit alors que $s$ est une section de $g$. La suite exacte courte est dite scindée à gauche s'il existe un morphisme $r$ de $G_2$ dans $G_1$ tel que $r\circ f=id_{G_1}$. On dit alors que $r$ est une rétraction de $f$.

En théorie des groupes, une suite exacte courte est parfois appelée extension de groupes. Elle est scindée à droite si et seulement si c'est un produit semi-direct.

Suites exactes courtes scindées

Dans la catégorie des groupes abéliens, une suite exacte courte est scindée à gauche si et seulement si elle est scindée à droite. Dans ce cas, le groupe $G_2$ est isomorphe au groupe produit $G_1\times G_3$.

Cette propriété n'est pas vraie dans toutes les catégories, notamment celle des groupes non abéliens. Par exemple, si $A_3$ désigne le groupe alterné d'indice 3, sous-groupe du groupe symétrique $S_3$ des permutations d'un ensemble à 3 éléments, $\iota$ l'inclusion et $\epsilon$ la signature de $S_3$, alors la suite

$1 \rightarrow A_3 \xrightarrow{\iota} S_3 \xrightarrow{\epsilon} \{-1,1\} \rightarrow 1$

est exacte courte. Elle est scindée à droite (par exemple, le morphisme de groupes $s$ envoyant $-1$ sur n'importe quel 2-cycle de $S_3$ est une section de $\epsilon$) mais pas à gauche (l'image d'un 2-cycle doit être d'ordre 2 et $A_3$ n'a pas de tel élément). Remarquons aussi que ce produit semi-direct $S_3$ de $A_3$ par $\{-1,1\}$ n'est pas direct (car ces deux groupes sont abéliens et $S_3$ ne l'est pas).

Liens avec l'homologie

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient $\left(G_n\right)_{n\in\N}$ des groupes et $f_n:G_n\rightarrow G_{n+1}$ des morphismes de groupes. On dit que la suite est un complexe différentiel si pour tout $n$, on a $f_{n+1}\circ f_n=0$, autrement dit : $Im(f_n)\subset Ker(f_{n+1})$. En particulier, toute suite exacte est un complexe différentiel. On peut aussi considérer des suites exactes de modules, d'anneaux, d'espaces vectoriels…

L'homologie d'un complexe différentiel est la mesure de son défaut d'exactitude. Plus précisément, le $n$^e groupe d'homologie de $\left(G_n\right)_{n\in\N}$ est le groupe quotient $H_n=Ker(f_n)/Im(f_{n+1})$. La suite est exacte si tous ses groupes d'homologie sont triviaux.

L'homologie est particulièrement utile en topologie et géométrie : on peut associer un complexe différentiel à tout espace topologique ou à toute variété différentielle. Le complexe associé à un espace topologique est un invariant topologique de l'espace, i.e. deux espaces homéomorphes auront les mêmes complexes différentiels associés. En particulier, deux espaces topologiques ayant des groupes d'homologie différents ne peuvent pas être homéomorphes.