Courbe plane

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En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :

\alpha: I \longrightarrow \R^2~

I est un intervalle de l'ensemble \R des nombres réels.

L'image d'une courbe est aussi appelée support de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression courbe pour indiquer le support d'une courbe. Une courbe sur un espace euclidien de dimension supérieure à 2 est dite plane si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.

Une courbe plane est dite simple si elle ne se recoupe pas, autrement dit, si

\forall \ (t_1,t_2) \in I^2, t_1 \ne t_2 \Longrightarrow \alpha(t_1) \ne \alpha(t_2).

Représentations[modifier | modifier le code]

Représentation par une forme cartésienne explicite[modifier | modifier le code]

Une manière de représenter une courbe plane est l'équation :

y = f(x)\,

telle qu'à chaque point x corresponde un point y, et de façon à ce que chaque point du plan xy : (x,y) représente le support de la courbe. Une courbe de ce type est également nommée graphique en référence au graphique d'une fonction réelle ; en effet, la représentation peut aussi s'écrire :

\alpha (t) = (t,f(t))\,

c'est-à-dire comme fonction d'une variable indépendante. Cette représentation a de nombreuses limites géométriques, du fait que très souvent, une courbe a une description très complexe sous cette forme, qui n'est donc pas adaptée à l'étude des propriétés géométriques.

Représentation par une forme cartésienne implicite[modifier | modifier le code]

Une courbe peut également être représentée sous la forme :

F(x,y)=0\,

c'est-à-dire comme fonction de deux variables indépendantes. Cette représentation est, selon certains points de vue, meilleure que la représentation explicite ; cependant, on peut rencontrer des problèmes quand il faut expliciter l'une des deux variables en fonction de l'autre : souvent, c'est très compliqué, quand ce n'est pas impossible.

Représentation paramétrée[modifier | modifier le code]

La meilleure représentation est sans aucun doute la représentation paramétrée, du type :

\alpha : \begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} ou bien \alpha(t) = (\phi(t), \psi(t))

t \in I s'appelle le paramètre.

La condition de continuité ne suffit pas pour représenter et étudier les courbes vues comme objets filiformes à une dimension avec les caractéristiques de régularité voulues. La condition supplémentaire est que la courbe plane soit différentiable sur I.

Une courbe plane paramétrée \alpha(t) = (\phi(t), \psi(t)) est dite différentiable en tout point si les fonctions \phi(t) et \psi(t) ont des dérivées continues en tout point.

On dit qu'une courbe plane paramétrée est régulière en un point t_0 (ou que t_0 est un point régulier pour cette courbe) si \alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0) ; elle est dite régulière sur I si \alpha'(t) \ne (0,0) en tout point t de I.

Un point t_0 tel que \alpha'(t_0) = (0,0) est appelé point singulier pour la courbe.

Tangente[modifier | modifier le code]

La régularité de la courbe permet de définir la droite tangente à la courbe. Soient \alpha(t) une courbe différentiable et P_0 = \alpha(t_0) un point régulier. On peut définir la tangente à la courbe en ce point comme étant la droite passant par P_0 et parallèle au vecteur \alpha'(t_0) = (\phi'(t_0),\psi'(t_0)).

La tangente a une équation cartésienne au point t_0 :

\psi'(t_0) \cdot (X - \phi(t_0)) - \phi'(t_0) \cdot (Y - \psi(t_0)) = 0

et pour équations paramétrées :

\begin{cases} X_t = \phi'(t_0) (t-t_0) + \phi(t_0) \\ Y_t = \psi'(t_0) (t-t_0) + \psi(t_0) \end{cases}

Dans le cas d'une courbe représentée explicitement par une équation y=f(x), la tangente au point (x_0,y_0) est donnée par la relation :

f'(x_0) \cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0.

Dans le cas d'une courbe représentée par une équation implicite F(x,y)=0, la tangente au point (x_0,y_0) est donnée par la relation :

F_{x_0}\cdot(x-x_0) + F_{y_0}\cdot(y-y_0) = 0

F_{x_0} (respectivement F_{y_0}) désigne la dérivée partielle par rapport à x (respectivement y) de F, évaluée au point x_0 (respectivement y_0).

Normale[modifier | modifier le code]

La régularité de la courbe permet de définir la droite normale à la courbe au point t_0, d'équation cartésienne :

\phi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi(t)) + \psi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi(t)) = 0.

Cette équation devient, avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent :

  • Pour une représentation explicite :
f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0.
  • Pour une représentation implicite :
F_{y_0}\cdot(x-x_0) + F_{x_0}\cdot(y-y_0) = 0.

Cosinus directeurs[modifier | modifier le code]

D'après la définition même de la dérivée, on obtient :

\frac {\phi(t)}{\psi(t)} = \tan \theta

ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la tangente (au sens trigonométrique du terme) de l'angle que cette tangente forme avec l'axe horizontal (l'axe des 'x'). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :

\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}
\sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}

Reparamétrage[modifier | modifier le code]

Soient \alpha : I \longrightarrow \R^2 une courbe plane différentiable, et t = t(s) une fonction définie sur l'intervalle S et à valeurs dans I. Alors la courbe :

\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrow \R^2,

telle que pour tout s \in S, \beta(s) = \alpha(t(s)), est un reparamétrage de la courbe \alpha. Le reparamétrage est dit régulier si t(S) = I et si \forall s \in S, t'(s) \ne 0.

On vérifie alors le théorème suivant : si \beta = \alpha \circ t est un reparamétrage de la courbe \alpha par t=t(s) alors

\beta' (s) = \frac {dt}{ds} \alpha' (t(s))
Démonstration
Si \alpha (t) = (\phi(t),\psi(t)) alors \beta(s) = (\phi(t(s)), \psi(t(s))) et d'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :
\frac {d\phi(t(s))}{ds} = \frac {d\phi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}
\frac {d\psi(t(s))}{ds} = \frac {d\psi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}
et ainsi on obtient :
\beta'(s) = \frac {dt}{ds} \left(\frac {d\phi}{dt} , \frac {d\psi}{dt} \right) = \frac {dt}{ds} \alpha'(t(s))

Longueur d'une courbe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Longueur d'un arc.

Longueur d'un arc paramétré[modifier | modifier le code]

Soient \alpha(t) = (\phi(t),\psi(t)) une courbe différentiable sur I, et [a,b]\subseteq I. Alors la longueur de l'arc de courbe compris entre \alpha(a) et \alpha(b) vaut :

L(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \cdot dt.

Si de plus \beta(s) est un reparamétrage de la courbe, alors :

L(\alpha) = L(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds.

Longueur et forme cartésienne explicite[modifier | modifier le code]

Si la courbe est représentée sous forme cartésienne explicite y=f(x) alors, comme \frac{dx}{dx} = 1 et \frac {df(x)}{dx} = \frac {dy}{dx}, la longueur de la courbe est donnée par :

L = \int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\cdot dx}.

Paramétrage avec les coordonnées polaires planes[modifier | modifier le code]

Une forme de paramétrage qui revêt une importance notable dans l'étude des mathématiques, de la géométrie et dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, est celle des coordonnées polaires planes. Étant donnée une courbe paramétrée en coordonnées polaires par la forme cartésienne r=r(\theta), avec c ≤ θ ≤ d, et par la forme paramétrée :

\begin{cases} \phi(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ \psi(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}, de paramètre θ.

Alors ses dérivées sont : \begin{cases}\phi'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\ \psi'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta \end{cases}

et donc la longueur de l'arc est :

L = \int_{c}^{d}{\sqrt {\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} \cdot d\theta} = \int_{c}^{d}{\sqrt {r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta}.

Abscisse curviligne[modifier | modifier le code]

On définit l'abscisse curviligne ou paramètre longueur d'arc comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration a, de façon à ce que l'intégrale s(t) = \int_{a}^{t}{\| \alpha'(u) \| du} ne dépende que de la borne supérieure t, vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe a, affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :

étant donné que s'(t) = \|\alpha'(t)\| >0, on peut inverser s(t), et son inverse est t=t(s). Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : \beta(s) = \alpha(t(s)).

On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :

\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1.

Courbure[modifier | modifier le code]

Soit \beta(s) une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne et \beta'(s) son vecteur tangent unitaire. Considérons la fonction k : S\longrightarrow \R , s\longmapsto k(s) = \| \beta''(s)\|. Alors la fonction k(s) \ge 0 est dite courbure de la courbe.

Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est :

k = \frac{f''(x)}{ \left(1 + f'^{2} \right)^{3/2}} .

En revanche, pour une courbe représentée par une équation implicite, la courbure est évaluée par :

k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}} .

Formules de Frenet[modifier | modifier le code]

Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit trièdre de Frenet, donné par un triplet de vecteurs tangent, normal e binormal. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.

Soit \beta(s) = (\phi(s), \psi(s)) une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :

T(s) = \beta'(s) = (\phi'(s), \psi'(s)).

Le vecteur unitaire normal est déterminé par :

N(s) = i \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s)),

i est le nombre complexe tel que i^2 = -1. Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :

N(s) = \frac {T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac {T'(s)}{k(s)}.

On démontre que le vecteur T' est orthogonal à T et donc parallèle à N.

Finalement, les formules de Frenet et la courbure pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage \alpha(t) = (\phi(t),\psi(t)), sont :

T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}
N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}
k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}

Exemples de courbes planes[modifier | modifier le code]

Courbes planes classiques[modifier | modifier le code]

Constructions[modifier | modifier le code]

Courbes analytiques[modifier | modifier le code]

Courbes algébriques[modifier | modifier le code]

Une courbe algébrique est une variété algébrique de dimension 1, généralement exprimée sous la forme d'un polynôme de degré divers. Des exemples incluent :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (fr) Mathcurve : une encyclopédie des courbes