Courbe de Lévy
En mathématiques, la courbe de Lévy ou courbe en C est une courbe fractale.
Décrite pour la première fois par Ernesto Cesàro en 1906[1] et Georg Faber en 1910[2], elle porte maintenant le nom du mathématicien français Paul Lévy qui, en 1938, a été le premier à décrire ses propriétés d'auto-similarité, et à en apporter une construction géométrique[3].
Propriétés[modifier | modifier le code]
- La dimension de Hausdorff de la courbe de Lévy égale 2 (elle contient des ensembles ouverts). Résultat déduit directement de sa construction par deux homothéties de rapport 1/√2.
- Sa frontière a une dimension estimée à environ 1,9340[4].
- La courbe de Lévy pave le plan[5].
- Si le segment d'origine a pour longueur 1, l'aire recouverte par la courbe de Lévy vaut 1/4[5].
- La courbe de Lévy est un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavée par deux copies d'elle-même, de même taille)[6].
- Elle est un cas particulier de la courbe de De Rham (en).
Construction par un système de Lindenmayer (L-système)[modifier | modifier le code]
La construction de la courbe de Lévy part d'un segment de droite. Ce segment est remplacé par les deux côtés du triangle rectangle isocèle ayant le segment d'origine pour hypoténuse. A l'étape 2, la courbe est donc représentée par deux segments à angle droit. Par rapport au segment original ces deux segments sont réduits d'un facteur 1/√2.
On applique cette règle itérativement pour chaque nouveau segment créé.
Après n étapes, la courbe consiste en segments de longueur réduits d'un facteur par rapport au segment d'origine.
Le système de Lindenmayer associé peut ainsi être décrit comme suit :
Variables: F Constantes: + − Axiome: F Règles: F → +F−−F+
Où "F" signifie "avance tout droit", "+" signifie "tourne à droite à 45°", et "−" signifie "tourne à gauche à 45°".
L'ensemble limite de ce L-système est la courbe de Lévy.
Variantes[modifier | modifier le code]
La courbe standard est construite en utilisant des angles de 45 degrés. On peut élaborer des variantes de cette courbe en utilisant des angles différents. Tant que l'angle reste inférieur à 60 degrés, les nouveaux segments créés à chaque étape restent inférieurs au segment d'origine et l'ensemble converge vers une courbe limite.
Construction par un système de fonctions itérées[modifier | modifier le code]
La construction d'une courbe de Lévy par un système de fonctions itérées s'appuie sur un ensemble de deux fonctions linéaires contractantes de rapport 1/√2[7]. La première introduit une rotation de 45°, la deuxième une rotation de -45°.
La courbe de Lévy C dans le plan complexe peut donc être définie comme l'attracteur de deux similitudes :
- h de centre 0 définie par
- l de centre 1 définie par .
Notes et références[modifier | modifier le code]
Notes[modifier | modifier le code]
- E. Cesaro, Fonctions continues sans dérivée, Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) p. 57-63
- G. Farber, Über stetige Funktionen II, Mathematische Annalen, 69 (1910) p. 372-443.
- Paul Lévy, Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole (1938), reprinted in Classics on Fractals Gerald A. Edgar ed. (1993) Addison–Wesley, (ISBN 0-201-58701-7)
- Duvall, P. and Keesling, J., The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Lévy Dragon, 22 jul 1999
- Le pavage du plan par la courbe de Lévy, Dubuc Serge & Li Jun
- On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999
- Robert Ferreol, « mathcurve »
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lévy C curve » (voir la liste des auteurs).
- (en) S. Bailey, T. Kim, R. S. Strichartz, « Inside the Lévy dragon », American Mathematical Monthly, vol. 109, no 8, , p. 689–703
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Articles connexes[modifier | modifier le code]
Liens externes[modifier | modifier le code]
(en) Eric W. Weisstein, « Lévy Fractal », sur MathWorld
