Hermann Weyl

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Signature de Hermann Weyl.

Hermann Weyl, né le 9 novembre 1885 à Elmshorn et mort le 8 décembre 1955 à Zurich, est un mathématicien et un physicien théoricien des plus influents du XXe siècle. En 1918, développant la géométrie de Weyl (ou géométrie conforme (en)) et introduisant par la même la notion de jauge, il fut le premier à combiner la relativité générale avec l'électromagnétisme. L'invariance de jauge est à la base du modèle standard et reste un ingrédient fondamental pour la physique théorique moderne. Ses recherches en mathématiques portèrent essentiellement sur la topologie, la géométrie et l'algèbre. Weyl publia également de nombreux travaux sur l'espace, le temps, la matière, la mécanique quantique, la philosophie, la logique, la théorie des nombres et l'histoire des mathématiques.

Biographie[modifier | modifier le code]

Né à Elmshorn à proximité de Hambourg en Allemagne, Weyl étudia de 1904 à 1908 à Göttingen et à Munich, principalement intéressé par les mathématiques et la physique. Son doctorat fut soutenu à Göttingen sous la direction de Hilbert et Minkowski. En 1910, il obtint un poste d'enseignant comme privat-docent à Göttingen. Il enseigna les mathématiques à l'École polytechnique fédérale de Zurich en Suisse en 1913.

S'ouvre alors une période stable de sa vie, propice à la recherche mathématique. C'est durant cette période qu'il fit ses principales découvertes en mathématiques (lire Recherche). L'université de Princeton lui offrit une chaire en physique mathématique aux départements de mathématiques et de physique pour l'année 1928-1929[1]. Weyl hésita, enfin acceptant de venir dans un premier temps pour un an. Mais il retourna à Zurich en septembre 1929, puis quitta l'école polytechnique en 1930 pour succéder à Hilbert à Göttingen où il prit la chaire de mathématiques. La montée du national-socialisme en Allemagne en 1933 obligea Weyl à accepter un poste à l'Institute for Advanced Study (IAS) : sa femme, Hella, était juive et subissait la législation raciste du régime nazi.

Même s'il fut à l'IAS avec Einstein, les recherches de Weyl sur les théories unitaires classiques, l'unification de la gravitation et de l'électromagnétisme, remontent à une période bien antérieure, dans les années 1920, et quand il arriva à l'IAS Weyl ne croyait plus à leur possibilité[2].

Weyl continua à travailler à l'IAS jusqu’à sa retraite en 1952 ; il mourut à Zurich.


Travaux[modifier | modifier le code]

Géométrie[modifier | modifier le code]

Hermann Weyl (à gauche) et Ernst Peschl (de) (à droite).

En 1913, Weyl publie Die Idee der Riemannschen Fläche (Le concept de surface de Riemann) où il fournit un traitement unifié des surfaces de Riemann. Il fut le premier à formaliser, à cette occasion, la définition de ce qu'est une surface. Ce travail remarquable est souvent considéré comme l'une de ses principales contributions.

En 1918, il introduit la notion de jauge, première étape de ce qui deviendra la théorie de jauge. En réalité, sa vision était une tentative non réussie de modéliser les champs électromagnétique et gravitationnel comme des propriétés géométriques de l'espace-temps. En définitive, le tenseur de Weyl en géométrie riemannienne a une importance considérable pour dégager les propriétés conformes.

De 1923 à 1938, Weyl étudia les groupes compacts, en termes de représentation matricielle. Il établit en particulier une formule (en) pour les caractères d'un groupe de Lie compact. Ces travaux se révélèrent fondamentaux pour comprendre la symétrie des lois de la mécanique quantique. Il en posa les bases, donnant naissance aux spineurs, devenus familiers autour des années 1930. Les groupes non compacts et leurs représentations, à l'exemple du groupe de Heisenberg, sont aussi un de ses sujets de préoccupation. Dès lors, les groupes de Lie et leurs algèbres de Lie devinrent une branche à part entière de la géométrie et de la physique théorique.

Le livre Les groupes classiques recouvrent les groupes symétriques, les groupes linéaires, les groupes orthogonaux et les groupes symplectiques. C'est d'ailleurs Hermann Weyl en personne qui a choisi le terme symplectique pour éviter toute confusion avec complexe.

Fondements des mathématiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fondements des mathématiques.

Dans le Continuum, en utilisant les travaux de Bertrand Russell, Weyl fut capable de développer l'analyse classique, sans utiliser ni la preuve par contradiction, ni les ensembles infinis de Cantor, ni l'axiome du choix. Pour Weyl, un ensemble fini peut être défini par la liste de ses éléments, mais cela est impossible pour un ensemble infini. Un tel ensemble infini ne peut être défini que par une propriété spécifique commune à chacun de ses éléments. Il échappe aux paradoxes des débuts de la théorie des ensembles en définissant une hiérarchie entre relations et ensembles de divers types. Comme il n'existe qu'une quantité dénombrable de propriétés, il en résulte qu'il ne saurait exister pour Weyl qu'une quantité dénombrable d'ensembles. De plus, si un tel ensemble est non dénombrable, il n'existe pas de certitude qu'il possède une partie dénombrable.

Pour Weyl, la notion primitive sur laquelle se construisent petit à petit les mathématiques est celle de nombre entier. Il rejoint ainsi le point de vue de Kronecker. Les axiomes doivent refléter une conviction intime que l'on porte sur les objets étudiés et ne sont pas de simples postulats sur lesquels se bâtit un jeu hypothético-déductif à la Hilbert. S'il utilise les coupures de Dedekind pour définir un nombre réel comme ensemble de rationnels, il se limite aux coupures définies par une propriété explicite des rationnels qui la composent. Un réel est donc assimilé à une propriété de rationnels. Il refuse d'admettre l'existence générale d'une borne supérieure pour un ensemble borné de réels. En effet, celle-ci ne peut être définie que par une propriété des dits réels, c'est-à-dire une propriété de propriétés de rationnels, notion à laquelle il dénie tout sens.

Ces conceptions conduisirent Weyl à se rattacher au courant intuitionniste de Brouwer. Il publia un article controversé clamant aux côtés de Brouwer « Nous sommes la révolution ». L'article en question popularisa beaucoup plus le point de vue intuitionniste que ne l'avaient fait les travaux originels de Brouwer.

George Polya et Hermann Weyl firent un pari au sujet de l'avenir des mathématiques lors d'une réunion mathématique à Zurich en février 1918. Pour Weyl, dans les vingt années à venir, les mathématiciens admettraient le caractère vague de notions comme le corps des nombres réels, les ensembles et la dénombrabilité, se demandant en même temps si la vérité ou la fausseté de la propriété de la borne supérieure, avait le même contenu que l'interrogation sur les assertions de Friedrich Hegel en philosophie de la nature. L'existence de ce pari a été découverte en 1995 par Yuri Gurevich (en).

Quelques années plus tard, Weyl estima que l'intuitionnisme de Brouwer était un point de vue trop étroit et rejoignit, au moins partiellement, la position de Hilbert. Dans les dernières années de sa vie, il adopta le point de vue d'Ernst Cassirer ; mais il publia très peu d'articles défendant cette nouvelle position.

Relativité[modifier | modifier le code]

Weyl suivait de près le développement de la relativité en physique. Même si son approche philosophique avant la première guerre mondiale était basée sur la phénoménologie d'Edmund Husserl, et en particulier sur son essai de 1913, Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie, l'influence dominante sur lui pendant les années 1920, quand il travailla sur la théorie de la relativité et sur ses deux théories unitaires, était celle de Johann Gottlieb Fichte[3].

Citations[modifier | modifier le code]

  • Les problèmes des mathématiques ne sont pas des problèmes du vide.
  • In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics.
  • My work always tried to unite the truth with the beautiful, but when I had to choose one or the other, I usually chose the beautiful.


Références[modifier | modifier le code]

  1. G. Frei & U. Stammbach, Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich 1913–1930, Birkhäuser (1992) p. 101–129
  2. S. Sigurdsonn,"Journeys in Spacetime" dans E. Scholz (dir.), Hermann Weyl's « Raum–Zeit–Materie » and a General Introduction to His Scientific Work, Birkhäuser(2001) p. 15–47
  3. E. Scholz, "Weyl's Infintesimalgeometrie, 1917–1925" dans E. Scholz (dir.), Hermann Weyl's « Raum–Zeit–Materie » and a General Introduction to His Scientific Work, Birkhäuser(2001) p. 48–104 et E. Scholz, "Hermann Weyl’s Analysis of the “Problem of Space” and the Origin of Gauge Structures", Science in Context 17 (2004) 165–197

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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