Intégrale elliptique

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Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

f(x) = \int_{c}^{x} R\left(t,\sqrt{P(t)}\right)\;\mathrm{d}t

R est une fonction rationnelle à deux variables, P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et c est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques[1] :

\begin{align}(1)&\quad\int [(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm{d}t\\
(2)&\quad\int t^2[(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm{d}t\\
(3)&\quad\int (1+Nt^2)^{-1} [(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm{d}t\end{align}

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique).

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Note[modifier | modifier le code]

  1. E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]