Intégrale elliptique

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Une fonction intégrale elliptique est une fonction f de la forme :

$x \mapsto f(x) = \int_{c}^{x} R\left(t,\sqrt{P(t)}\right)\;\mathrm dt$

où R est une fonction rationnelle à deux variables, P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et c est une constante.

Legendre a montré qu'on pouvait distinguer trois espèces de fonctions elliptiques notées $E,F,\Pi$. Les intégrales elliptiques « complètes » de première espèce donnent le périmètre d'une ellipse, ce qui justifie en partie le nom d'intégrales elliptiques. Les intégrales elliptiques sont les applications réciproques des fonctions elliptiques.

Bibliographie

• Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
• Alfred George Greenhill (en), Les fonctions elliptiques et leurs applications chapitre II (G. Carré, Paris, 1895)
• Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications chapitre VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
• Benjamin Osgood Pierce, A short table of integrals p. 66 (Ginn & co., Boston, MA, 1899)

Voir aussi

• Forme de Legendre (en)
• Fonction elliptique
• Courbe elliptique
• Ellipse (mathématiques)
• Application de Schwarz-Christoffel (en)