Courbe de Gosper

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Courbe de Gosper à la 4ème itération

En géométrie, la courbe de Gosper, découverte par Bill Gosper en 1973, et popularisée par Martin Gardner en 1976, est une courbe de Peano remplissant le plan. Il s'agit d'une courbe fractale, voisine, dans sa construction, de la courbe du dragon ou de la courbe de Hilbert.

Construction[modifier | modifier le code]

La courbe de Gosper est obtenue par un processus itératif consistant à remplacer, à chaque itération, chaque segment par 7 segments d'une longueur réduite de 1/7.

Gosper curve 1.svg Gosper curve 3.svg
Première itération Quatrième itération.

La courbe ayant ainsi 7 similitudes internes de rapport 1/7, sa dimension fractale tend vers 2, elle pave donc le plan. A l'infini, l'ensemble rempli par la courbe est appelé île de Gosper.

L'île de Gosper[modifier | modifier le code]

Le frontière de l'île de Gosper peut également être obtenue, à partir d'un hexagone, de manière itérative comme suit.

À chaque itération, chaque segment est substitué par 3 segments 7 fois plus courts. La dimension de Hausdorff de cette frontière vaut donc 2 ln(3)/ln(7)= 1,12915.

Sept copies de l'île de Gosper juxtaposées forment une île de Gosper 7 fois plus grande, comme illustré ci-dessous. Le pavage est non seulement possible à l'infini mais également à chaque niveau d'itération.

Gosper Island Tesselation 2.svg

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liste de fractales

Liens externes[modifier | modifier le code]