Loi Kumaraswamy

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Kumaraswamy
Image illustrative de l'article Loi Kumaraswamy
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres a>0\,
b>0\,
Support x \in [0,1]\,
Densité de probabilité (fonction de masse) abx^{a-1}(1-x^a)^{b-1}\,
Fonction de répartition [1-(1-x^a)^b]\,
Espérance \frac{b\Gamma(1+\tfrac{1}{a})\Gamma(b)}{\Gamma(1+\tfrac{1}{a}+b)}\,
Médiane \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}
Mode \left(\frac{a-1}{ab-1}\right)^{1/a} pour a\geq 1, b\geq 1, (a,b)\neq (1,1)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi Kumaraswamy ou loi Kumaraswamy doublement bornée est une loi de probabilité continue dont le support est \scriptstyle [0,1] et dépendant de deux paramètres de forme a et b.

Elle est similaire à la loi bêta, mais sa simplicité en fait une loi utilisée spécialement pour les simulations grâce à la forme simple de la densité de probabilité et de la fonction de répartition. Cette loi a été initialement propsée par Poondi Kumaraswamy pour des variables minorées et majorées.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Fonction de densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi Kumaraswamy est :

 f(x; a,b) = \begin{cases} a b x^{a-1}{ (1-x^a)}^{b-1} & \hbox{pour }x\in[0,1]\\ 0 & \text{sinon}.\end{cases}

fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi Kumaraswamy est :

F(x; a,b)=\begin{cases} 1-(1-x^a)^b & \hbox{pour }x\in[0,1]\\ 0 & \text{sinon}.\end{cases}

Généralisation sur un intervalle quelconque[modifier | modifier le code]

Dans sa forme simple, la loi a pour support \scriptstyle [0,1]. Dans une forme plus générale, la variable normalisée x est remplacée par la variable z non normalisée définie par :

 x = \frac{z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}} , \qquad z_{\text{min}} \le z \le z_{\text{max}}. \,\!

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi Kumaraswamy sont donnés par

m_n = \mathbb{E} (X^n) = \frac{b\Gamma\left(1+\tfrac na \right)\Gamma(b)}{\Gamma\left(1+b+\tfrac na \right)} = bB \left(1+\frac na,b \right)\,

Γ est la fonction gamma et B est la fonction bêta. La variance, l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :

\sigma^2=m_2-m_1^2.

Relation avec la loi bêta[modifier | modifier le code]

La loi Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta. On considère \scriptstyle X_{a,b} est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b. Alors \scriptstyle X_{a,b} est la racine a-ième d'une variable aléatoire de loi bêta.

Plus formellement, notons \scriptstyle Y_{1,b} est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres \alpha=1 et \beta=b. il existe alors une relation entre \scriptstyle X_{a,b} et \scriptstyle Y_{1,b} :

X_{a,b}=Y^{1/a}_{1,b},

dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :

\mathbb P(X_{a,b}\le x)=\int_0^x ab t^{a-1}(1-t^a)^{b-1}dt=
\int_0^{x^a} b(1-t)^{b-1}dt=\mathbb P(Y_{1,b}\le x^a)=\mathbb P(Y^{1/a}_{1,b}\le x).

On peut alors introduire des lois Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme Y^{1/\gamma}_{\alpha,\beta}, avec \gamma>0 et où Y_{\alpha,\beta} est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres \alpha et \beta. Les moments de la loi Kumaraswamy sont donnés par :

m_n = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+n/\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\beta+n/\gamma)}.

Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant \alpha=1, \beta=b et \gamma=a. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.

Relations avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Kumaraswamy, P., « A generalized probability density function for double-bounded random processes », Journal of Hydrology, vol. 46, no 1-2,‎ 1980, p. 79–88 (DOI 10.1016/0022-1694(80)90036-0)
  • (en) Fletcher, S.G., and Ponnambalam, K., « Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis », Journal of Hydrology, vol. 182, no 1-4,‎ 1996, p. 259–275 (DOI 10.1016/0022-1694(95)02946-X)